【正文】 Xt1, Xt2, …, ?t) 建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題 ： (1)模型的具體形式 (2)時序變量的滯后期 (3)隨機擾動項的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（ ?t =?t），模型將是一個 1階自回歸過程 AR(1)(Autoregressive process)： Xt=?Xt1+ ?t這里， ?t特指 一白噪聲 。 將純 AR(p)與純 MA(q)結(jié)合，得到一個一般的 自回歸移動平均（ autoregressive moving average）過程 ARMA（ p,q） ： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式表明：（ 1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成， 即該序列可以由其自身的滯后值以及隨機擾動項來解釋。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。n 然而， 如果 Xt波動的主要原因可能是我們 無法解釋的因素 ， 如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋 Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 時間序列分析模型的適用性 例如 ， 時間序列過去是否有明顯的增長趨勢 ，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導地位呢？ 或者 時間序列顯示出循環(huán)周期性行為 ，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ ●隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢 。 在這些情況下，我們采用另一條預測途徑 ： 通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進而對時間序列未來行為進行推斷 。 Ct與 Yt作為內(nèi)生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資 It的運動及隨機擾動項 ?t的變化決定的。n 如果 It是一個白噪聲 ，則消費序列 Ct就成為一個 1階自回歸過程 AR(1)，而收入序列 Yt就成為一個 (1,1)階的自回歸移動平均過程 ARMA(1,1)。 關(guān)于這幾類模型的研究，是 時間序列分析的重點內(nèi)容 ：主要包括 模型的平穩(wěn)性分析 、 模型的識別 和 模型的估計 。 如果 一個 p階自回歸模型 AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該 AR(p)模型是平穩(wěn)的 ， 否則 ， 就說該 AR(p)模型是非平穩(wěn)的 。 可以證明， 如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR(p)模型是平穩(wěn)的。對 1階自回歸模型 AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學期望，得到 Xt的方差由于 Xt僅與 ?t相關(guān)，因此， E(Xt1?t)=0。 而 AR(1)的特征方程的根為 z=1/? AR(1)穩(wěn)定，即 |?| 1，意味著特征根大于 1。 對 AR(2)模型 方程兩邊同乘以 Xt，再取期望得： 又由于于是 同樣地，由原式還可得到于是方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 ?1+?21, ?2?11, |?2|1這就是 AR(2)的平穩(wěn)性條件 ，或稱為 平穩(wěn)域 。 對應的特征方程 1?1z?2z2=0 的兩個根 z z2滿足： z1z2=1/?2 , z1+z2 =?1/?2 AR(2)模型解出 ?1， ?2由 AR(2)的平穩(wěn)性， |?2|=1/|z1||z2|1 ，則至少有一個根的模大于 1，不妨設(shè) |z1|1，有于是 | z2 |1。 對高階自回模型 AR(p)來說 ，多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有 一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性 ： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是 ： ?1+?2+? +?p1 (2)由于 ?i(i=1,2,? p)可正可負， AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |?1|+|?2|+? +|?p|1 對于移動平均模型 MR(q)： Xt=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 其中 ?t是一個白噪聲，于是 MA(q)模型的平穩(wěn)性 當滯后期大于 q時， Xt的自協(xié)方差系數(shù)為 0。 由于 ARMA (p,q)模型是 AR(p)模型與 MA(q)模型的組合：Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此 ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于 AR(p)部分的平穩(wěn)性。 最后 （ 1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型； （ 2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。 例如， 一個 ARMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個 ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 所謂隨機時間序列模型的識別 ， 就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型 ，即判斷該時間序列是遵循一純 AR過程、還是遵循一純MA過程或 ARMA過程。 四、隨機時間序列模型的識別 AR(p)過程 (1)自相關(guān)函數(shù)（ ACF） 1階自回歸模型 AR(1) Xt=?Xt1+ ?t 的 k階滯后 自協(xié)方差 為：?=1,2,…因此， AR(1)模型的 自相關(guān)函數(shù) 為 ?=1,2,… 由 AR(1)的穩(wěn)定性知 |?|1，因此， k??時，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)形衰減，直到零 。 注意 ， ?0時， 呈振蕩衰減狀。至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實虛性， 若為實根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 如果 AR(p)是穩(wěn)定的，則 |?k|遞減且趨于零 。 因此， 當 1/zi均為實數(shù)根時， ?k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）； 當存在虛數(shù)根時，則一對共扼復根構(gòu)成通解中的一個阻尼正弦波項， ?k呈正弦波衰減。 例如，在 AR(1)隨機過程中， Xt與 Xt2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關(guān)性帶來的 :即：自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的 “間接 ”相關(guān)。 從 Xt中去掉 Xt1的影響，則只剩下隨機擾動項 ?t，顯然它與 Xt2無關(guān)，因此我們說 Xt與 Xt2的 偏自相關(guān)系數(shù) 為零，記為 在 AR(1) Xt=?