【正文】 時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為： 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 圖 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 19 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因為它可檢驗對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 也可檢驗對所有 k0，自相關(guān)系數(shù)都為 0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下 QLB統(tǒng)計量進(jìn)行： 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 20 ?????????????mkkLB knrnnQ12)2(該統(tǒng)計量近似地服從自由度為 m的 ?2分布（ m為滯后長度）。 例 : 表 Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有 19個樣本的隨機(jī)時間序列。 容易驗證： 該樣本序列的均值為 0，方差為 。 同樣地， 從 QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后 17期的計算值為 ，未超過 5%顯著性水平的臨界值 ，因此 ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) ?k(k0)都為 0的假設(shè)。 ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ ????????? ?? ZZ根據(jù) Bartlett的理論： ?k~N(0,1/19) 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此 該序列為一白噪聲。 其中，第 0項取值為 0， ?t是由 Random1表示的白噪聲 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 25 圖形表示出： 該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0，但隨著時間的推移，則在 0附近波動且呈發(fā)散趨勢。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。表 1978~2023 年中國支出法 GDP （單位：億元）年份 GDP 年份 GDP 年份 GDP1978 36 05 . 6 1986 10 13 2. 8 1994 46 69 0. 71979 40 73 . 9 1987 1 17 84 1995 58 51 0. 51980 45 51 . 3 1988 14704 1996 68 33 0. 41981 49 01 . 4 1989 16466 1997 74 89 4. 21982 54 89 . 2 1990 18 31 9. 5 1998 79 00 3. 31983 60 76 . 3 1991 21 28 0. 4 1999 82 67 3. 11984 71 64 . 4 1992 25 86 3. 6 2023 89 1 12 . 51985 87 92 . 1 1993 34 50 0. 6 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 27 圖 . 5 1978 ~ 2 0 0 0 年中國 GDP 時間序列及其樣本自相關(guān)圖 0. 4 0. 20. 00. 20. 40. 60. 81. 01. 22 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22G D P A C F02 0 0 0 04 0 0 0 06 0 0 0 08 0 0 0 01 0 0 0 0 078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00G D P 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程 ，可初步判斷 是非平穩(wěn) 的。 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 28 ?從滯后 18期的 QLB統(tǒng)計量看： QLB(18)==? 拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后 1期之后的值全部為 0的假設(shè)。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 29 ? 例 檢驗 167。 圖 9 . 1 . 6 1 9 8 1 ~ 1 9 9 6 中國居民人均消費與人均 G D P 時間序列及其樣本自相關(guān)圖 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 06 0 0 082 84 86 88 90 92 94 96GD PPC C PC 0 .4 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15G D P P C C P C 原圖 樣本自相關(guān)圖 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 30 ? 從圖形上看： 人均居民消費（ CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。再次表明它們的非平穩(wěn)性。 不過， ，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是 協(xié)整 的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是 協(xié)整 的。 單位根檢驗（ unit root test） 是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。 而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=?Xt1+?t 中參數(shù) ?=1時的情形。 （ *）式可變形式成差分形式： ?Xt=(?1)Xt1+ ?t =?Xt1+ ? t (**) 檢驗（ *）式是否存在單位根 ?=1，也可通過（ **）式判斷是否有 ? =0。 或者： 檢驗其等價變形式 ?Xt=?+?Xt1+?t （ **） 中的參數(shù) ?是否小于 0 。 對應(yīng)于（ **）式，則是 ?0或 ? =0。 備擇假設(shè) H1： ?0 上述檢驗可通過 OLS法下的 t檢驗完成 。 Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計量服從的分布 （ 這時的 t統(tǒng)計量稱為 ?統(tǒng)計量 ） ， 即 DF分布 （ 見表） 。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 36 ? 因此，可通過 OLS法估計 ?Xt=?+?Xt1+?t 并計算 t統(tǒng)計量的值，與 DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果： t臨界值，則拒絕零假設(shè) H0： ? =0， 認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 例如：“如果計算得到的 t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕 ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 但在實際檢驗中 ， 時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的 ， 或者隨機(jī)誤差項并非是白噪聲 ， 這樣用 OLS法進(jìn)行估計均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項出現(xiàn)自相關(guān) （ autocorrelation） ， 導(dǎo)致 DF檢驗無效 。 為了保證 DF檢驗中隨機(jī)誤差項的白噪聲特性 ， Dicky和Fuller對 DF檢驗進(jìn)行了擴(kuò)充 ， 形成了 ADF（ Augment DickeyFuller ） 檢驗 。 檢驗的假設(shè)都是：針對 H1: ?0,檢驗 H0： ?=0，即存在一單位根 。 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 40 ? 實際檢驗時從模型 3開始 ， 然后模型 模型 1。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型 1為止。 表 ADF分布臨界值表。 1） 只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè) ， 就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的； 2） 當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時 ， 則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的 。 一個簡單的檢驗過程： 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 43 例 檢驗 1978~2023年間中國支出法 GDP時間序列的平穩(wěn)性 。 從 ?的系數(shù)看 ， t臨界值 ， 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 。 需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ?2 。 從 GDPt1的參數(shù)值看 ， 其 t統(tǒng)計量為正值 ， 大于臨界值 ， 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 。 需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ?1。 從 GDPt1的參數(shù)值看 ， 其 t統(tǒng)計量為正值 ， 大于臨界值 ， 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 。 211 1 9 0 6 ??? ?????? tttt GDPGDPGDPGDP （ 4 . 1 5 ） ( 1 1 . 4 6 ) ( 6 . 0 5 ) LM （ 1 ） = 0 . 1 7 LM （ 2 ） = 2 . 6 7 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 46 ? 例 檢驗 167。 1)對 中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值 GDPPC來說 ， 經(jīng)過償試 ， 三個模型的適當(dāng)形式分別為 模型 2 ： 211???????????ttttG D P P CG D P P CG D P P CG D P P C （ 1 . 7 8 ） ( 3 . 2 6 ) ( 0 . 0 8 ) ( 2 . 9 6 ) 43 ?? ???? tt G D P P CG D P P C ( 0 . 6 7 ) ( 2 . 2 0 ) L M （ 1 ） = 1 . 6 7 L M （ 2 ） = 1 . 7 1 L M ( 3 ) = 6 . 2 8 L M （ 4 ） = 1 0 . 9 2 模型 3 ： 11 ?? ??????? ttt G D P P CG D P P CtG D P P C （ 0 . 7 5 ） ( 1 . 9 3 ) ( 1 . 0 4 ) ( 2 . 3 1 ) L M （ 1 ） =2 . 8 8 L M （ 2 ） = 1 . 8 6 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 47 ? 三個模型中參數(shù)的估計值的 t統(tǒng)計量均大于各自的臨界值 ，因此 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 。 模型 1 ： 211 9 7 7 9 ??? ?????? tttt G D P P CG D