【正文】 R2= .= 從 ，這個(gè)模型存在正的序列相關(guān)，但是，看起來(lái)還不是強(qiáng)的正序列相關(guān)。所以，再采取上面介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。26167。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來(lái)的不利影響。式（ ）是誤差項(xiàng) ut的 p階自回歸模型，參數(shù) ?1, ? 2 , ? , ? p是 p階自回歸模型的系數(shù)， ? t是相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)，并且是均值為 0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值之差。 281．修正一階序列相關(guān) 最簡(jiǎn)單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸 AR(1)模型。 如果 ? 的值未知， 通?？梢圆捎?Gauss— Newton迭代法求解，同時(shí)得到 ? ， ? 0， ? 1的估計(jì)量。對(duì)于高階自回歸過(guò)程，可以采取與一階序列相關(guān)類(lèi)似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用 GaussNewton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù)。運(yùn)用非線性最小二乘法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù) ? 0 , ? 1 , ? 1 , ? 2 , ? 3。 33 3. 在 Eviews中的操作過(guò)程： 選擇 Quick/Estimate Equation或 Object / New Object/Equation打開(kāi)一個(gè)方程，輸入方程變量，最后輸入ar(1) ar(2) ar(3)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個(gè)單項(xiàng)來(lái)消除季節(jié)自回歸，可以輸入： cs c gdp cs(1) ar(4)。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。從前一步初值重新開(kāi)始方程，使方程從中止處開(kāi)始而不是從開(kāi)始處開(kāi)始。 36 為控制 ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊 options。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒(méi)有ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再?gòu)倪@些值開(kāi)始非線性估計(jì)。可以選擇， ， 。在這個(gè)選項(xiàng)下，EViews使用 C系數(shù)向量中的值。 37 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì) EViews如何為 ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解。它按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： 1. 變量系數(shù)，以輸入為序。 3． SAR， MA， SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底） 38 例如： 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 也可使用程序指令安排 C向量值 param c(1) 50 c(2 ) c(3) c(4) c(5) c(6) 初值：常數(shù)是 50， X系數(shù)的初值是 ， ar(1)、 ma(2)、 ma(1)、 sma(4) 系數(shù)的初值分別是 ， ， ， 。也可以從估計(jì)方程中填寫(xiě) C向量，選擇pros/update/ coefs from equations。而且從相關(guān)圖看到，可以采用 AR(3) 模型來(lái)修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和 t統(tǒng)計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于 OLS的估計(jì)結(jié)果。在用同期信息對(duì) y t值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。由其名可知，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù) 。對(duì)于平穩(wěn) AR(1)模型， 在 1（極端負(fù)序列相關(guān)）和 +1（極端正序列相關(guān)）之間。子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于 1。例如：將例 ，估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng) AR(3)的非線性方程 單擊 Quick/Estimate Equation，打開(kāi)一個(gè)方程，用公式法輸入 cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)]45 輸出結(jié)果顯示為：46167。 平穩(wěn)時(shí)間序列建模平穩(wěn)時(shí)間序列建模 本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的殘差序列為研究對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問(wèn)題。 本節(jié)中介紹的 ARMA模型（ autoregressive moving average models）可以用來(lái)研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。一般所說(shuō)的 “平穩(wěn)性 ”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 平穩(wěn)時(shí)間序列的概念平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 和 s ()()()48167。 49 2. 移動(dòng)平均模型 MA(q) q階移動(dòng)平均模型記作 MA(q) ，滿足下面的方程： ()其中：參數(shù) ? 為常數(shù)；參數(shù) ?1 , ?2 ,…, ?q是 q階移動(dòng)平均模型的系數(shù)； ? t是均值為 0，方差為 ? 2的白噪聲序列。當(dāng) p = 0時(shí)，ARMA(0, q) = MA(q)；當(dāng) q = 0時(shí)， ARMA(p, 0) = AR(p)。 ARMA模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的。則式（ ）可以改寫(xiě)為： ()52若設(shè) ，令 ()則 ?(z) 是一個(gè)關(guān)于 z的 p次多項(xiàng)式， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式（）兩端取期望可以求得均值或 ()()()54 式（ ）表示 ut可以由一個(gè)白噪聲序列的線性組合表示出來(lái)。事實(shí)上，式（ ）是沃爾德分解定理（ Wold 定理）的特例。 ? t是白噪聲序列，對(duì)于任意的 j， ?t的值與 ? tj無(wú)關(guān)。 ()55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式（ ）的 MA算子稱(chēng)為可逆的 。 57 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型 AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 ()()58若令則 ARMA(p， q)模型（ ）平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)無(wú)關(guān)。在上面AR定義中，我們已見(jiàn)過(guò)這種方法的例子。 例如，估計(jì)一個(gè) 2階自回歸和 1階動(dòng)平均過(guò)程ARMA(2,1)，應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將 AR和 MA項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。單擊 Quick/Estimate Equation打開(kāi)一個(gè)方程，輸入 LS c ar(1) ma(1)即可。 SAR(p)定義為帶有 p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。 與此類(lèi)似， SMA(q)定義為帶有 q階滯后的季節(jié)動(dòng)平均。存在 SAR項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。 對(duì)于季度數(shù)據(jù)，可以加入 sar(4)來(lái)表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4)估計(jì)誤差結(jié)構(gòu)為： 64等價(jià)于 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。 在另一個(gè)例子中，無(wú)季節(jié)性的二階 MA過(guò)程如下 可以通過(guò)包含 ma(1)和 ma(2)來(lái)估計(jì)二階 MA過(guò)程。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計(jì)模型為：等價(jià)于： 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。還可以在方程說(shuō)明中同時(shí)包括 SAR， SMA項(xiàng)。首先對(duì)其做變化率， srt = 100(StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ? , T），這樣便得到了變化率序列。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為 sr，建立如下模型： 67回歸結(jié)果為： 68圖 實(shí)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列 sr，虛線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3% 上下波動(dòng)。擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值。 ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別 在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來(lái)推斷其總體（真實(shí)）特征。1. 自相關(guān)系數(shù) 時(shí)間序列 ut滯后 k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì) ()70其中 是序列的樣本均值，這是相距 k期值的相關(guān)系數(shù)，稱(chēng) rk為時(shí)間序列 ut的自相關(guān)系數(shù)。它告訴我們?cè)谛蛄?ut的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。712．偏自相關(guān)系數(shù) 偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定 ut1， ut2， … ， utk的條件下， ut與 utk之間的條件相關(guān)性。在 p階滯后下估計(jì)偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下 ()72其中： rk 是在 k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。要得到 ? k , k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸 ()()因此，滯后 k階的偏相關(guān)系數(shù)是當(dāng) ut 對(duì) ut1， … ， utk 作回歸時(shí) utk的系數(shù)。73 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。 因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計(jì)值，用以檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時(shí)間序列 ut的自相關(guān)的階數(shù)。 ut與 ut+k 不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱(chēng)為截尾。 76 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q的增加變得越來(lái)越復(fù)雜，很難給出一個(gè)關(guān)于 q的一般表達(dá)式，但是，一個(gè) MA(q) 模型對(duì)應(yīng)于一個(gè) AR(∞) 模型。故可以通過(guò)識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個(gè) MA(q) 過(guò)程。78由此可知， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于 g1 , g2 , …, gp及 k取值的不同，呈現(xiàn)出不同的衰減形式，可能是指數(shù)式的衰減，也可能是符號(hào)交替的震蕩式的衰減。 因此，可以通過(guò)自相關(guān)系數(shù)來(lái)獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號(hào)的信息。所以，可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù) ? k , k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過(guò)程 AR(p)的統(tǒng)計(jì)特征。 對(duì)于一個(gè) AR(p)模型， ()將式（ ）兩邊同時(shí)乘以 utk ( k = 1, 2 , …, p) ，再對(duì)方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , …, ?p的線性方程組： ()80其中： r1 , r2 , …, rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , …, p階自相關(guān)系數(shù)。 且對(duì)于一個(gè) AR(p) 模型， ? k,k的最高階數(shù)為 p，也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p階截尾的。 81例例 利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù) 識(shí)別識(shí)別 ARMA模型并檢驗(yàn)序列相關(guān)性模型并檢驗(yàn)序列相關(guān)性 例 1947年第 1季度～ 1995年第 1季度的消費(fèi)和 GDP之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)殘差存在序列相關(guān)，并且例 AR(3) 模型修正了殘差的序列相關(guān)性。這個(gè)例子將借助 Q統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖，說(shuō)明如何判斷模型的階數(shù)。下面計(jì)算殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。但是，在實(shí)際操作中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過(guò)要識(shí)別序列的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)出來(lái)的，并且隨著抽樣的不同而不同，其估計(jì)值只能同理論上的大致趨勢(shì)保持一致，并不能精確的相同。88例