【正文】 季節(jié)項的 2階 AR過程 用滯后算子 ，則上式可表示為： 可以通過回歸自變量的 ar(1)， ar(2)項來估計這個過程。 65 對季度數(shù)據，可以添加 sma(4)考慮季節(jié)性。 66例例 : 利用利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國上證收盤指數(shù)（時間期間： 1991年 1月～2023年 3月）的月度時間序列 S作為研究對象，用 AR(1)模型描述其變化規(guī)律。近年來波動平緩，并且大多在 3% 下面波動。這一節(jié)將引入自相關系數(shù) (autocorrelations，簡稱 AC) 和偏自相關系數(shù) (partial autocorrelations，簡稱 PAC) 這兩個統(tǒng)計量去識別 ARMA(p， q) 模型。通常的， AR(p) 模型的自相關系數(shù)是隨著 k的增加而呈現(xiàn) 指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減 ，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項的系數(shù)。這是偏相關系數(shù)的一致估計。 一個純的 p 階自回歸過程 AR(p) 的偏相關系數(shù)在 p階截尾，而純的動平均函數(shù)的偏相關過程漸進趨于零。 即 MA(q) 模型的自相關函數(shù)在 q步以后是截尾的 。 774. AR模型的識別 可以不加證明的給出 AR(p)過程的自相關系數(shù) ()其中 ?1 , ?2 , …, ?p 是 AR(p) 模型的特征多項式 ()的 p個特征根， g1 , g2 , …, gp為任意給定的 p個常數(shù)。但是，對于自回歸過程 AR(p)，自相關系數(shù)并不能幫助我們確定 AR(p) 模型的階數(shù) p。然后求解方程組（ ），計算出一組解 ?1 , ?2 , …, ?p，就可得到的偏自相關系數(shù)為 ： ?k,k= ?k (k =1， 2，… ， p)。但是，我們并沒有說明是通過怎樣的方法來判斷殘差服從一個AR(3) 模型。84圖 原方程的殘差序列的相關圖85 自相關系數(shù)呈震蕩式遞減，偏自相關系數(shù)除了 2和3階顯著不為 0以外，其他各項均接近于 0，因此，我們可以猜測殘差序列的自相關結構可以用 AR(3) 模型來糾正，模型建立如下： 86圖 修正序列相關后的回歸方程的相關圖87 5. 模型的識別與建立 我們引入了自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)這兩個統(tǒng)計量來識別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點和模型的階數(shù)。實際上用后面學到的單位根檢驗可知 CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列，但是它的一階差分序列 ?CPI是平穩(wěn)的。 92圖 ?CPI序列方程殘差序列的相關圖 從圖 相關系數(shù)可以看到不存在序列相關。 然而，對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的。因此，對于一個非平穩(wěn)序列去建模，預測是困難的。 注意到像圖 經濟時間序列常呈指數(shù)趨勢增長，但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉換為線性趨勢 。而其差分序列 ? yt是平穩(wěn)序列。偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩(wěn)。 特別地，如果序列 yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為 yt ～ I(0)。 103 如果兩個序列分別為 d階單整和 e階單整，即 xt ～ I(d)， yt ～ I(e)， e d 則二序列的線性組合是 e 階單整序列，即 zt =a xt +b yt ～ I(max(d， e))104 167。 105 其中 a是常數(shù)， ? t 是線性趨勢函數(shù)， ut ～ . N (0, ? 2) 。 3) 如果 ? 的絕對值大于 1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。 Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。判斷 ? 的估計值是接受原假設或者接受備選假設，進而判斷一個高階自相關序列AR(p) 過程是否存在單位根。通常采用 AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察?？梢允褂眠@個選項決定序列中單位根的個數(shù)。這一選擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設下的分布隨這 3種情況不同而變化。 定義上述選項后，單擊 OK進行檢驗。如下圖所示，在 Spectral estimation method 中選擇具體的核函數(shù)形式。從圖 的 CPI圖形可以看出含有常數(shù)項，但不含有時間趨勢項。 例例 檢驗中國檢驗中國 GDP序列的平穩(wěn)性序列的平穩(wěn)性 127 3. PP檢驗 類似于 DF檢驗的作用， Phillips和 Perron（1988）提出一種非參數(shù)方法來檢驗一階自回歸過程AR(1)的平穩(wěn)性 (附加一個修正因子 )，對于方程 () 原假設和備選假設為： 128 接受原假設，意味著存在一個單位根；反之，接受備選假設，意味著不存在單位根。 131 通過模擬可以給出 PP統(tǒng)計量在不同顯著性水平下的臨界值，使得我們能夠很容易的實施檢驗。 {xt}包含原序列 {yt}中可能含有的截距項，或者截距項和趨勢項。 KwiatkowskiPhillipsSchmidtShin（ 1992）給出了不同置信水平下的臨界值 (小于臨界值接受原假設 )。首先定義序列的擬差分序列如下： () 136并且構造如下回歸方程： () 其中， xt包含了常數(shù)項或者常數(shù)項和趨勢項。141 因此， ARIMA(p,d,q)模型區(qū)別于 ARMA(p,q) 之處就在于前者的自回歸部分的特征多項式含有 d個單位根。 對于博克斯 — 詹金斯建模思想的第 4步，需要一些統(tǒng)計量和檢驗來分析在第 2步中的模型形式選擇得是否合適，所需要的統(tǒng)計量和檢驗如下：（ 1）檢驗模型參數(shù)顯著性水平的 t統(tǒng)計量；（ 2）為保證 ARIMA(p,d,q) 模型的平穩(wěn)性，模型的特征根的倒數(shù)皆小于 1；（ 3）模型的殘差序列應當是一個白噪聲序列，可用 檢驗序列相關的方法檢驗。更復雜的差分形式可以使用兩個參數(shù) n， s。例如： Dlog(GDP)定義 log(GDP)的一階差分，即 log(GDP)log(GDP(1))。如果我們利用滯后多項式 和 寫一般的 ARMA模型： 輸出表中報告的結果相當于下列多項式 和的根。如果估計的 MA模型的根的模接近于 1，有可能是對數(shù)據差分過多，這就很難估計和預測 。首先觀察 Δ2GDP序列的相關圖（圖 ）。148149 這個 ARMA估計輸出例子的結果對應于如下定義：或等同于：150 例 — 詹金斯的建模思想完整的建立一個模型，以幫助讀者熟悉博克斯 — 詹金斯的建模思想。147 如果 有絕對值大于 1的實根或一對復根的逆在單位圓外（即模大于 1），這意味著自回歸過程是發(fā)散的。例如： GDP～I(1)，對 GDP估計 ARIMA(1,1,1)模型，可以輸入列表： D(GDP) c ar(1) ma(1)使用因變量差分因子 D(GDP)定義模型， EViews將提供水平變量GDP的預測值。例如： D(GDP, 2)定義了 GDP的 2階差分： D(GDP, 2)=GDP 2*GDP(1)+GDP(2)D(x, n, s)定義序列 x的 n階普通差分，帶有滯后 s階的季節(jié)差分： 145 例如： D(GDP, 0, 4)定義帶有滯后 4階季節(jié)差分的零階普通差分，即 GDPGDP(4)。定義一階差分，僅把序列名寫入 D后的括號。 1422. 應用 ARIMA(p, d, q) 模型建模的過程 博克斯 — 詹金斯提出了具有廣泛影響的建模思想，能夠對實際建模起到指導作用。138 ARIMA模型 1． ARIMA模型的形式 我們已經介紹了對于單整序列能夠通過 d次差分將非平穩(wěn)序列轉化為平穩(wěn)序列。在實際應用中，主要有兩種 f0的估計方法：（ 1） 協(xié)方差核估計；（ 2） 自回歸譜密度估計量。對方程（ ）作最小二乘回歸得到殘差序列的估計， 是剔除趨勢和截距項的序列， KPSS檢驗就是基于此基礎上，通過檢驗殘差的估計序列 { }是否存在單位根，從而來判斷原序列是否存在單位根。132 4. KPSS檢驗 KPSS（ KwiatkowskiPhillipsSchmidtShin，1992） 檢驗的原理 是用從待檢驗序列中剔出截距項和趨勢項的序列 { }構造 LM統(tǒng)計量。 PP統(tǒng)計量 tp,p的具體構造形式如下： 129() 其中： 是式（ ）回歸殘差方差的一致估計量，即 其中 k是解釋變量的個數(shù)。接著再對一階差分 ?CPI序列進行單位根檢驗， ADF檢驗結果如下： 126 檢驗結果顯示，一階差分 ?CPI序列拒絕原假設，接受 ?CPI序列是平穩(wěn)序列的結論。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設定序列的是否含有常數(shù)項或者時間趨勢項。 單位根檢驗后，應檢查 EViews顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結構或序列自相關階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗。121 4．定義序列相關階數(shù) 在 Lag lenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關所需的滯后階數(shù)的準則。一般而言，一個序列經過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整 I(2)。 117 EViews軟件中的操作說明： 雙擊序列名，打開序列窗口，選擇 View/unit Root Test，得到下圖 ： 單位根檢驗窗口118進行單位根檢驗必須定義 4項： 1．選擇檢驗類型 在 Test type的下拉列表中，選擇檢驗方法。 115 （ 2） 可以選擇常數(shù)和線性時間趨勢， 選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的 t統(tǒng)計量在原假設下的漸進分布依賴于關于這些項的定義。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關序列是否存在單位根。 111 2. ADF檢驗 ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯后差分項來控制高階序列相關 ()()()112 擴展定義將檢驗 () 也就是說原假設為：原假設至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根。這一檢驗被稱為 DickeyFuller檢驗 (DF檢驗 )。也就是說： 原假設 H0： ? =1，備選假設 H1： ? 1()()() 從方程兩邊同時減去 yt1得， 108 其中： ? =? 1，所以原假設和備選假設可以改寫為 可以通過最小二乘法得到 ? 的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構造檢驗顯著性水平的 t統(tǒng)計量。 2) 如果 ? =1， yt 序列是非平穩(wěn)序列。本節(jié)將介紹 5種單位根檢驗方法： DF檢驗、 ADF檢驗、 PP檢驗、 KPSS 檢驗、 ERS檢驗。對于上面的隨