【正文】 1， … ， Xtk+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， … ， Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù)是一 p階差分方程 ，其通解為 （ 2）偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF ） 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知， |zi|1。 一般地， p階自回歸模型 AR(p) k期滯后協(xié)方差為 : 從而有 自相關(guān)函數(shù) : 可見， 無論 k有多大， ?k的計(jì)算均與其１到 p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)， 因此 呈拖尾狀 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t該模型 的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為２階自回歸模型 AR(2) 類似地 ,可寫出 一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： (K=2,3,…)于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù) 為： (K=2,3,…)其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱 AR(1)有無窮記憶 （ infinite memory）。 所使用的工具 主要是 時間序列的 自相關(guān)函數(shù) （ autocorrelation function， ACF） 及偏自相關(guān)函數(shù) （ partial autocorrelation function， PACF ）。 當(dāng)然， 一個 ARMA(p,0,0)過程表示了一個純 AR(p)平穩(wěn)過程；一個 ARMA(0,0,q)表示一個純 MA(q)平穩(wěn)過程。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 當(dāng) AR(p)部分平穩(wěn)時，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。因此 :有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的 。由 ?2 ?1 1可推出同樣的結(jié)果。它是一頂點(diǎn)分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形。AR(2)模型的平穩(wěn)性。如果該模型穩(wěn)定，則有 E(Xt2)=E(Xt12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |?|1。 例、 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件?？紤] p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (*)n 引入 滯后算子（ lag operator ） L： LXt=Xt1, L2Xt=Xt2, …, L pXt=Xtp(*)式變換為 (1?1L ?2L2… ?pLp)Xt=?t 記 ?(L)= (1?1L ?2L2… ?pLp),則稱多項(xiàng)式方程 ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0為 AR(p)的 特征方程 (characteristic equation)。 三、隨機(jī)時間序列模型的平穩(wěn)性條件 AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時間序列模型的平穩(wěn)性 ， 可通過它所生成的隨機(jī)時間序列的平穩(wěn)性來判斷 。 自回歸移動平均模型（ ARMA）是隨機(jī)時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（ AR）和移動平均模型（ MA）是它的特殊情況。上述模型可作變形如下：n 兩個方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機(jī)擾動項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng) It的行為。 例如， 對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里， Ct、 It、 Yt分別表示消費(fèi)、投資與國民收入。 使用時間序列分析模型的另一個原因在于 ： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于 ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。n 有時， 即使能估計(jì)出一個較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于 對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難 ，甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。n 經(jīng)典回歸模型的問題：n 迄今為止， 對一個時間序列 Xt的變動進(jìn)行解釋或預(yù)測，是通過某個單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為 結(jié)構(gòu)式模型（ structural model） 。（ 2）如果該序列是平穩(wěn)的 ，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化， 那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測未來。 一般的 p階自回歸過程 AR(p)是 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t (*) (1)如果隨機(jī)擾動項(xiàng)是一個白噪聲 (?t=?t)，則稱 (*)式為一 純 AR(p)過程（ pure AR(p) process） ，記為 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (2)如果 ?t不是一個白噪聲，通常認(rèn)為它是一個 q階的 移動平均（ moving average）過程 MA(q)： ?t=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式給出了一個 純 MA(q)過程（ pure MA(p) process） ?；卮穑? 可以通過建立 隨機(jī)時間序列分析模型 來進(jìn)行 與經(jīng)典回歸分析不同的是 ： 這里所建立的時間序列模型主要不是以不同變量間的因果關(guān)系為基礎(chǔ)，而是尋找時間序列自身的變化規(guī)律； 同樣地，在預(yù)測一個時間序列未來的變化時，不再使用一組與之有因果關(guān)系的其他變量，而只是用該序列的過去行為來預(yù)測未來。 因此 :如果計(jì)算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時為0的假設(shè)。 Bartlett曾證明 :如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的 k0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以 0為均值， 1/n 為方差的正態(tài)分布，其中 n為樣本數(shù)。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。 實(shí)際上 ,對一個隨機(jī)過程只有一個實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算 樣本自相關(guān)函數(shù) （ Sample autocorrelation function）。n 一個 平穩(wěn)的時間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種