【正文】 yT)其中b 表示未知參數(shù) b0, b1, …, b k 1的集合。假定ut ~ N(0, s 2 ), 則yt 也服從正態(tài)分布。極大似然估計(jì)量 (MLE) 具有一致性和漸近有效性。對(duì)數(shù)似然函數(shù)是 log L = f (xt | g )通過(guò)選擇 g 使上式達(dá)到最大，從而求得極大似然估計(jì)值 。 2. 模型參數(shù)的估計(jì)對(duì)于時(shí)間序列模型，一般采用極大似然法估計(jì)參數(shù)。另外，估計(jì)的模型形式不是唯一的，所以在模型識(shí)別階段應(yīng)多選擇幾種模型形式，以供進(jìn)一步選擇。相關(guān)圖和偏相關(guān)圖（估計(jì)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)）通常比真實(shí)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的方差要大，并表現(xiàn)為更高的自相關(guān)。用樣本得到的只是估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，即相關(guān)圖和偏相關(guān)圖。第2步是在平穩(wěn)時(shí)間序列基礎(chǔ)上識(shí)別ARMA模型階數(shù)p, q。一般來(lái)說(shuō)平穩(wěn)序列差分得到的仍然是平穩(wěn)序列，但當(dāng)差分次數(shù)過(guò)多時(shí)存在兩個(gè)缺點(diǎn)，（1）序列的樣本容量減??；（2）方差變大；所以建模過(guò)程中要防止差分過(guò)度。對(duì)于經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，差分次數(shù)，即模型（）中的參數(shù)d通常只取0，1或2。所以在分析相關(guān)圖時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認(rèn)為該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應(yīng)在單位圓之外。在對(duì)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列進(jìn)行分析之前，首先應(yīng)對(duì)樣本數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關(guān)圖。下面對(duì)建摸過(guò)程做詳細(xì)論述。如果模型的某些參數(shù)估計(jì)值不能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，或者殘差序列不能近似為一個(gè)白噪聲過(guò)程，應(yīng)返回第一步再次對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別。模型參數(shù)的估計(jì)就是待初步確定模型形式后對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。（1）模型的識(shí)別，（2）模型參數(shù)的估計(jì)，（3）診斷與檢驗(yàn)。它既包括了AR，MA 和ARMA過(guò)程，也包括了單整的AR，MA和ARMA過(guò)程。q0為位移項(xiàng)，Δd yt表示對(duì)yt 進(jìn)行d次差分之后可以表達(dá)為一個(gè)平穩(wěn)的可逆的ARMA過(guò)程。當(dāng)T充分大時(shí)，近似有 ( 0) / T1/2 = T1/2 ~ N (0, 1)所以在觀察偏相關(guān)圖時(shí)，若的絕對(duì)值超過(guò)2 T1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），就被認(rèn)為是顯著地不為零。實(shí)際中對(duì)于偏相關(guān)圖取k = 15就足可以了。估計(jì)的偏自相關(guān)函數(shù) , k = 1, 2, …, K, ()稱(chēng)為偏相關(guān)圖。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。ARMA( p, q) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無(wú)限延長(zhǎng)的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)相類(lèi)似。 q1 0 q1 0MA(1) 過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)例5：對(duì)于xt = ut + q1 ut1過(guò)程，有 [1/ (1+ q1 L)] xt = ut , 當(dāng)q1 0， (1 q1 L + q12 L2 … ) xt = ut , xt = q1 x t1 q12 x t2 + q13 x t3 … + ut , 對(duì)于xt = ut q1 ut1過(guò)程，有 [1/ (1 q1 L)] xt = ut ，當(dāng)q1 0, (1+ q1 L + q12 L2 + … ) xt = ut , xt = q1 x t1 q12 x t2 q13 x t3 … + ut , 對(duì)于MA(2) 過(guò)程，若Q (L) = 0的根是實(shí)數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個(gè)指數(shù)衰減形式疊加而成。若q1 0, 偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號(hào)式指數(shù)衰減；若q1 0，偏自相關(guān)函數(shù)呈負(fù)數(shù)的指數(shù)衰減。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識(shí)別AR(p)過(guò)程的階數(shù)。 p時(shí)，fkk 185。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。 2時(shí)，fkk 185。 0，當(dāng)k 1時(shí)，fkk = 0，所以AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn)峰值（f11 = r1）然后截尾。 xt = fk 1 xt1 + fk 2 xt2 + … + fkk xtk + ut因偏自相關(guān)函數(shù)中每一個(gè)回歸系數(shù) fkk 恰好表示xt 與xtk在排除了其中間變量xt1, xt2, …, xtk +1 影響之后的相關(guān)系數(shù)， xt fk 1 xt1 fk 2 xt2 … fkk1 xtk +1 = fkk xtk + ut所以偏自相關(guān)函數(shù)由此得名。它由下式中的紅項(xiàng)組成。用 fkj 表示k階自回歸式中第j個(gè)回歸系數(shù)，則k階自回歸模型表示為 xt = fk 1 xt1 + fk 2 xt2 + … + fkk xtk + ut其中 fkk 是最后一個(gè)回歸系數(shù)。所以在觀察相關(guān)圖時(shí)，若rk的絕對(duì)值超過(guò)2 T1/2（2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），就被認(rèn)為是顯著地不為零。實(shí)際應(yīng)用中相關(guān)圖一般取k = 15就足夠了。由于MA過(guò)程和ARMA過(guò)程中的MA分量的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以通過(guò)相關(guān)圖可以估計(jì)MA過(guò)程的階數(shù)q。圖中虛線表示到中心線2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差寬度。但在小樣本條件下更有效。注意：()式分母為T(mén)，不是Tk。其中 Ck = k = 0, 1, 2, …, K , 　 ()是對(duì)gk 的估計(jì) C0 = ()是對(duì)g0的估計(jì)，T是時(shí)間序列數(shù)據(jù)的樣本容量。 5. 相關(guān)圖（correlogram） 對(duì)于一個(gè)有限時(shí)間序列（x1, x2, …, xT）用樣本平均數(shù) = 估計(jì)總體均值 m，用樣本方差 s2 = 估計(jì)總體方差sx2。對(duì)于ARMA (p, q) 過(guò)程，p, q 179。若 f1 0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。） 4. ARMA (1, 1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)ARMA (1, 1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)rk 從 r1開(kāi)始指數(shù)衰減。 (2) MA(q) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) MA(q) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是 rk = , k = 1, 2, …, q , 0 k q ,當(dāng)k q 時(shí)，rk = 0，說(shuō)明 rk , k = 0, 1, … 具有截尾特征。 q1 0 q1 0 MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)可見(jiàn)MA(1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征。 a. 兩個(gè)特征根為實(shí)根 b. 兩個(gè)特征根為共軛復(fù)根 AR(2) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)3. 移動(dòng)平均過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) (1) MA(1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)。④ 有一個(gè)實(shí)數(shù)根接近1時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將衰減的很慢，近似于線性衰減。實(shí)際中的平穩(wěn)自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)常是由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成。若AR(p) 過(guò)程平穩(wěn)，則 |Gi| 1，所以必有R 1。 ① 當(dāng)Gi為實(shí)數(shù)時(shí)，() 式中的Ai Gik 將隨著k 的增加而幾何衰減至零，稱(chēng)為指數(shù)衰減（過(guò)阻尼情形）。為保證隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性，要求 | Gi | 1, i = 1, 2, …, p。用 g0分別除（）式的兩側(cè)得 rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk p ， k 0 ()令 F(L) = (1 f1 L f2 L2 … fp Lp）其中L為k的滯后算子，則上式可表達(dá)為 F(L) rk = 0因 F(L) 可因式分解為， F(L) =,則（）式的通解（證明見(jiàn)附錄）是 rk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk. ()其中Ai, i = 1, … p 為待定常數(shù)。 f1 0 （經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常見(jiàn)） f1 0 （經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中少見(jiàn)） AR(1) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)（2）AR(p) 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)用xt k , (k 0) 同乘平穩(wěn)的 p階自回歸過(guò)程 xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut ()的兩側(cè)，得 xt k xt = f1 xt k xt 1 + f2 xt k xt 2 + … + fp xt k xt p + xt k ut ()對(duì)上式兩側(cè)分別求期望得 gk = f1 gk 1 + f2 gk 2 + … + fp gk p ， k 0