【正文】 yT)其中b 表示未知參數(shù) b0, b1, …, b k 1的集合。假定ut ~ N(0, s 2 ), 則yt 也服從正態(tài)分布。極大似然估計量 (MLE) 具有一致性和漸近有效性。對數(shù)似然函數(shù)是 log L = f (xt | g )通過選擇 g 使上式達到最大，從而求得極大似然估計值 。 2. 模型參數(shù)的估計對于時間序列模型，一般采用極大似然法估計參數(shù)。另外，估計的模型形式不是唯一的，所以在模型識別階段應多選擇幾種模型形式，以供進一步選擇。相關圖和偏相關圖（估計的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)）通常比真實的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的方差要大，并表現(xiàn)為更高的自相關。用樣本得到的只是估計的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)，即相關圖和偏相關圖。第2步是在平穩(wěn)時間序列基礎上識別ARMA模型階數(shù)p, q。一般來說平穩(wěn)序列差分得到的仍然是平穩(wěn)序列，但當差分次數(shù)過多時存在兩個缺點，（1）序列的樣本容量減??；（2）方差變大；所以建模過程中要防止差分過度。對于經(jīng)濟時間序列，差分次數(shù)，即模型（）中的參數(shù)d通常只取0，1或2。所以在分析相關圖時，如果發(fā)現(xiàn)其衰減很慢，即可認為該時間序列是非平穩(wěn)的。如果一個隨機過程是平穩(wěn)的，其特征方程的根都應在單位圓之外。在對經(jīng)濟時間序列進行分析之前，首先應對樣本數(shù)據(jù)取對數(shù)，目的是消除數(shù)據(jù)中可能存在的異方差，然后分析其相關圖。下面對建摸過程做詳細論述。如果模型的某些參數(shù)估計值不能通過顯著性檢驗，或者殘差序列不能近似為一個白噪聲過程，應返回第一步再次對模型進行識別。模型參數(shù)的估計就是待初步確定模型形式后對模型參數(shù)進行估計。（1）模型的識別，（2）模型參數(shù)的估計，（3）診斷與檢驗。它既包括了AR，MA 和ARMA過程，也包括了單整的AR，MA和ARMA過程。q0為位移項，Δd yt表示對yt 進行d次差分之后可以表達為一個平穩(wěn)的可逆的ARMA過程。當T充分大時，近似有 ( 0) / T1/2 = T1/2 ~ N (0, 1)所以在觀察偏相關圖時，若的絕對值超過2 T1/2（2個標準差），就被認為是顯著地不為零。實際中對于偏相關圖取k = 15就足可以了。估計的偏自相關函數(shù) , k = 1, 2, …, K, ()稱為偏相關圖。對于時間序列數(shù)據(jù)，偏自相關函數(shù)通常是未知的。ARMA( p, q) 過程的偏自相關函數(shù)也是無限延長的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過程的偏自相關函數(shù)相類似。 q1 0 q1 0MA(1) 過程的偏自相關函數(shù)例5：對于xt = ut + q1 ut1過程，有 [1/ (1+ q1 L)] xt = ut , 當q1 0， (1 q1 L + q12 L2 … ) xt = ut , xt = q1 x t1 q12 x t2 + q13 x t3 … + ut , 對于xt = ut q1 ut1過程，有 [1/ (1 q1 L)] xt = ut ，當q1 0, (1+ q1 L + q12 L2 + … ) xt = ut , xt = q1 x t1 q12 x t2 q13 x t3 … + ut , 對于MA(2) 過程，若Q (L) = 0的根是實數(shù)，偏自相關函數(shù)由兩個指數(shù)衰減形式疊加而成。若q1 0, 偏自相關函數(shù)呈交替改變符號式指數(shù)衰減；若q1 0，偏自相關函數(shù)呈負數(shù)的指數(shù)衰減。偏自相關函數(shù)在滯后期p以后有截尾特性，因此可用此特征識別AR(p)過程的階數(shù)。 p時，fkk 185。偏自相關函數(shù)在滯后期2以后有截尾特性。 2時，fkk 185。 0，當k 1時，fkk = 0，所以AR(1)過程的偏自相關函數(shù)特征是在k = 1出現(xiàn)峰值（f11 = r1）然后截尾。 xt = fk 1 xt1 + fk 2 xt2 + … + fkk xtk + ut因偏自相關函數(shù)中每一個回歸系數(shù) fkk 恰好表示xt 與xtk在排除了其中間變量xt1, xt2, …, xtk +1 影響之后的相關系數(shù)， xt fk 1 xt1 fk 2 xt2 … fkk1 xtk +1 = fkk xtk + ut所以偏自相關函數(shù)由此得名。它由下式中的紅項組成。用 fkj 表示k階自回歸式中第j個回歸系數(shù)，則k階自回歸模型表示為 xt = fk 1 xt1 + fk 2 xt2 + … + fkk xtk + ut其中 fkk 是最后一個回歸系數(shù)。所以在觀察相關圖時，若rk的絕對值超過2 T1/2（2個標準差），就被認為是顯著地不為零。實際應用中相關圖一般取k = 15就足夠了。由于MA過程和ARMA過程中的MA分量的自相關函數(shù)具有截尾特性，所以通過相關圖可以估計MA過程的階數(shù)q。圖中虛線表示到中心線2個標準差寬度。但在小樣本條件下更有效。注意：()式分母為T，不是Tk。其中 Ck = k = 0, 1, 2, …, K , 　 ()是對gk 的估計 C0 = ()是對g0的估計，T是時間序列數(shù)據(jù)的樣本容量。 5. 相關圖（correlogram） 對于一個有限時間序列（x1, x2, …, xT）用樣本平均數(shù) = 估計總體均值 m，用樣本方差 s2 = 估計總體方差sx2。對于ARMA (p, q) 過程，p, q 179。若 f1 0，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負。） 4. ARMA (1, 1) 過程的自相關函數(shù)ARMA (1, 1) 過程的自相關函數(shù)rk 從 r1開始指數(shù)衰減。 (2) MA(q) 過程的自相關函數(shù) MA(q) 過程的自相關函數(shù)是 rk = , k = 1, 2, …, q , 0 k q ,當k q 時，rk = 0，說明 rk , k = 0, 1, … 具有截尾特征。 q1 0 q1 0 MA(1)過程的自相關函數(shù)可見MA(1) 過程的自相關函數(shù)具有截尾特征。 a. 兩個特征根為實根 b. 兩個特征根為共軛復根 AR(2) 過程的自相關函數(shù)3. 移動平均過程的自相關函數(shù) (1) MA(1) 過程的自相關函數(shù)。④ 有一個實數(shù)根接近1時，自相關函數(shù)將衰減的很慢，近似于線性衰減。實際中的平穩(wěn)自回歸過程的自相關函數(shù)常是由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成。若AR(p) 過程平穩(wěn)，則 |Gi| 1，所以必有R 1。 ① 當Gi為實數(shù)時，() 式中的Ai Gik 將隨著k 的增加而幾何衰減至零，稱為指數(shù)衰減（過阻尼情形）。為保證隨機過程的平穩(wěn)性，要求 | Gi | 1, i = 1, 2, …, p。用 g0分別除（）式的兩側得 rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk p ， k 0 ()令 F(L) = (1 f1 L f2 L2 … fp Lp）其中L為k的滯后算子，則上式可表達為 F(L) rk = 0因 F(L) 可因式分解為， F(L) =,則（）式的通解（證明見附錄）是 rk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk. ()其中Ai, i = 1, … p 為待定常數(shù)。 f1 0 （經(jīng)濟問題中常見） f1 0 （經(jīng)濟問題中少見） AR(1) 過程的自相關函數(shù)（2）AR(p) 過程的自相關函數(shù)用xt k , (k 0) 同乘平穩(wěn)的 p階自回歸過程 xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut ()的兩側，得 xt k xt = f1 xt k xt 1 + f2 xt k xt 2 + … + fp xt k xt p + xt k ut ()對上式兩側分別求期望得 gk = f1 gk 1 + f2 gk 2 + … + fp gk p ， k 0