時(shí)間序列模型概述-wenkub.com
2025-06-23 18:24 本頁面
【正文】 對(duì)于AR(p) 過程， xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut (15)則它的自相關(guān)函數(shù)滿足下面方程rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk –p, k 0 (16) 即有 (1 G1 L ) (1 – G2 L ) … (1 – Gp L )rk = 0 (17)其中，Gi1, i = 1, 2是方程(1 f1 L f2 L2 … fp Lp) = 0 的根。由(8)式可得rk = G2 rk－1 + yk = G2 rk－1 + y0 G1k (10)對(duì)上式進(jìn)行迭代，rk = G2 (G2 rk－2 + y0 G1k1) + y0 G1k = G22 rk－2 + y0 G2 G1k1 + y0 G1k …. = G2k r 0 + y0 (G1k + G2 G1k1 + … + G2 k1 G1) (11)當(dāng)（3）式有相同的根（G1 = G2）時(shí)， rk = G1k + y0 k G1k = G1k (1+ y0 k) 當(dāng)（3）式的根不相等（G1≠G2）時(shí)，因?yàn)镚1k G2k = (G1 G2) (G1 k 1 + G1 k 2 G21 +…+ G11 G2 k 2 + G2 k 1)，所以（11）式 rk = G2k r 0 + y0 G1 (G1k1 + G2 G1k2 + … + G2 k1) = G2k r 0 + y0 G1 = G2k r 0 +(G1k –G2 k) = G2k +G1k –G2 k =G1k – (1–) G2 k = A1G1k – A2 G2 k (12)其中A1 =, A2 = 1同理可以證明（2）式的通解是（4）式。附錄：對(duì)()式（自相關(guān)函數(shù)通解表達(dá)式）的證明對(duì)于AR(p) 過程 xt = f 1 xt 1 + f 2 xt 2 +…+ f p xt p + ut (1)它的自相關(guān)函數(shù)滿足下式，rk = f1 rk 1 + f2 rk 2 + … + fp rk –p, k 0 (2) （見《計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析》第77頁）即有(1 f1 L f2 L2 … fp Lp ) rk = 0 (3)則（2）式的自相關(guān)函數(shù)有如下形式通解， rk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk. (4)其中Ai, i = 1, … p 為待定系數(shù)。對(duì)xT+1的預(yù)測按下式進(jìn)行 = xT + ()由()式，理論上xT+2的預(yù)測式是 xT+2 = f1 xT+1 + uT+2 + q1 uT+1仍取uT+1 = 0，uT+2 = 0，則xT+2的實(shí)際預(yù)測式是 = ()其中是上一步得到的預(yù)測值，與此類推xT+3的預(yù)測式是 = ()由上可見，隨著預(yù)測期的加長，預(yù)測式 () 中移動(dòng)平均項(xiàng)逐步淡出預(yù)測模型，預(yù)測式變成了純自回歸形式。其他形式時(shí)間序列模型的預(yù)測方法與此類似。判別規(guī)則是： 若Q c2a ( K p q) ，則接受H0。（EViews中給出的Q統(tǒng)計(jì)量就是按()式定義的。Ljung和Box認(rèn)為()式定義的Q統(tǒng)計(jì)量的分布與c2( K p q)分布存在差異（相應(yīng)值偏?。?，于是提出修正的Q統(tǒng)計(jì)量。一是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的估計(jì)值是否具有顯著性；二是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钚蛄惺欠駷榘自肼暋?如果估計(jì)量= gi, k , （i = 1, …, p + q），接近真值gi，那么F, t檢驗(yàn)將會(huì)對(duì)非線性模型有很滿意的解釋作用。 評(píng)價(jià)線性模型的一些統(tǒng)計(jì)量例F, t等都不能直接用于評(píng)價(jià)非線性模型。d 是預(yù)先給定的精度標(biāo)準(zhǔn)。以此作為第二組估計(jì)值，對(duì)非線性函數(shù)再一次線性化，從而得到一個(gè)新的線性方程。去掉右側(cè)第三項(xiàng)及以后各項(xiàng)得 xt f (xt1, …, xtp, g1, 0 , …, gp+q, 0 ) + = + ut. ()上式為線性回歸方程形式。怎樣確定初始值并不重要。由于計(jì)算上的困難，這種方法很少直接采用。例如當(dāng)含有四個(gè)被估參數(shù)，每個(gè)參數(shù)需選擇20個(gè)計(jì)算值時(shí)，則需要計(jì)算 (20) 4 = 160000次。通過改變參數(shù)的取值，反復(fù)計(jì)算殘差平方和的值。首先假定模型為純自回歸形式， F (L) xt = ut ()或 xt = f1 xt1 + … + fp xtp + ut . ()這是一個(gè)線性回歸模型，極大似然估計(jì)與OLS估計(jì)結(jié)果近似相同。若 () 式中不含有移動(dòng)平均項(xiàng)，對(duì)于自回歸參數(shù)來說 () 式是一個(gè)線性函數(shù)。此問題的一般處理方法是取這些變量等于他們的無條件期望值。把 () 式改寫為 ut = . ()若用，和分別表示對(duì)fi, q i和ut的估計(jì)，則使下式最小。 = + E( yt ) ]2 = 0 ()用代替上式中E(yt) 中的 b 得 = T 1現(xiàn)在討論怎樣對(duì)時(shí)間序列模型的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)。上式中表示殘差。 yt ~ N(E(yt), s 2 )， 其中E(yt) = b0 + b1 xt1 + b 2 xt 2 + … + bk 1 xt k 1。具體步驟是用上述對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)每個(gè)未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，即 = 0 … = 0, （k個(gè)方程聯(lián)立）一般來說似然函數(shù)是非線性的，必須采用迭代計(jì)算的方法求參數(shù)的極大似然估計(jì)值。 ARIMA過程與其自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)特征 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征ARIMA(1,1,1)D xt = j1D xt1 + ut + q1ut1緩慢地線性衰減AR（1）xt = j1 xt1 + ut若j1 0，平滑地指數(shù)衰減若j1 0，正負(fù)交替地指數(shù)衰減若j11 0，k=1時(shí)有正峰值然后截尾若j11 0，k=1時(shí)有負(fù)峰值然后截尾MA（1）xt = ut + q1 ut1若q1 0，k=1時(shí)有正峰值然后截尾若q1 0，k=1時(shí)有負(fù)峰值然后截尾若q1 0，交替式指數(shù)衰減若q1 0，負(fù)的平滑式指數(shù)衰減AR（2）xt = j1 xt1 + j2 xt2 + ut指數(shù)或正弦衰減（兩個(gè)特征根為實(shí)根）（兩個(gè)特征根為共軛復(fù)根）k=1, 2時(shí)有兩個(gè)峰值然后截尾（j1 0，j2 0）（j1 0，j2 0）MA（2）xt = ut + q1 ut1+ q2 ut2k=1, 2有兩個(gè)峰值然后截尾（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）指數(shù)或正弦衰減（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）ARMA（1，1）xt = j1 xt1 + ut + q1 ut1k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）ARMA（2，
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