【正文】 怎樣的變化呢 ？ 理論與實(shí)踐均證明 ， 擾動(dòng)項(xiàng) ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背 ， 都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì) 。 tktkttt uxxxy ?????? ???? ?22110Ttsuu stt ,2,1,00),c o v ( ?????Ttsuu stt ,2,1,00),c o v ( ?????6 由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為 0， 同方差的正態(tài)分布 ， 則序列相關(guān)性也可以表示為： () 特別的 ， 如果僅存在 () 稱為 一階序列相關(guān) ， 這是一種最為常見的序列相關(guān)問題 。 ① 在線性估計(jì)中 OLS估計(jì)量不再是有效的； 8 EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具 。 由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性 ， 以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)性 ， 必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān) 。 1． D_W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) DurbinWatson 統(tǒng)計(jì)量 （ 簡(jiǎn)稱 D_W統(tǒng)計(jì)量 ） 用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān) ， 還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系 。 如果存在負(fù)序列相關(guān) ， 2～ 4之間 。 3． 僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān) 。 稱rk為時(shí)間序列 ut的自相關(guān)系數(shù) ， 自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì) 。 在 k階滯后下估計(jì)偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下 （ ） 其中： rk 是在 k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值 。 ? ? tktkkktktt uuuu ????? ?????? ????? ,11110 ?15 我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù) （ 在本章 ） ， 以及 LjungBox Q統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān) 。 在實(shí)際的檢驗(yàn)中 ，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的 Q統(tǒng)計(jì)量 、 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù) 。 在 EViews軟件中的操作方法： 在方程工具欄選擇 View/Residual Tests/correlogramQstatistics。 18 例 : 利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性 考慮美國的一個(gè)投資方程。樣本區(qū)間： 1963年～ 1984年，建立如下線性回歸方程： t = 1, 2, ?, T tttt ugnpri n v ??? ? )l n ()l n ( 211 ??19 應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下 ： t =（ ） （ ） R2= .= tttt ugnpri n v ?)l n ()l n ( 1 ???? ?20 虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。 選擇 View/Residual test/CorrelogramQstatistice會(huì)產(chǎn)生如下結(jié)果： 21 3 . 序列相關(guān)的 LM檢驗(yàn) 與 不同， BreushGodfrey LM檢驗(yàn)（ Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下， LM檢驗(yàn)仍然有效。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量： F統(tǒng)計(jì)量和 T R2統(tǒng)計(jì)量 。 ktktttt xxxye ???? ???? 22110 ?????? ?tptpttt veee ????? ?? ??? ?11X23 在給定的顯著性水平下 ， 如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之 ， 如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值 ， 則說明序列存在序列相關(guān)性 。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。這里采用 LM 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn) (p=2)， 得到結(jié)果如下 ： LM統(tǒng)計(jì)量顯示 ， 回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性 。 擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的 線性回歸方程的估計(jì)與修正 線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在 ， 會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真 。 下面將討論如何利用 AR(p) 模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān) ， 以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù) 。 11011 ??? ??? ttt xyu ??ttttt xxyy ?????? ?????? ?? )()1( 11011*1* , ?? ???? tttttt xxxyyy ??ttt xy ???? ???? *10* )1(32 2． 修正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在 p階序列相關(guān) ， 誤差形式可以由 AR(p)過程給出 。 34 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為 f (xt , ? )的非線性模型， xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若擾動(dòng)項(xiàng)序列存在 p階序列相關(guān)， () () 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng) ?t為白噪聲序列的非線性回歸方程 ， 以 p = 1為例 ， () 使用 GaussNewton算法來估計(jì)參數(shù) 。 tttt uuu ??? ??? ?? 442237 例 用 AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) （ 1） 例 關(guān) 。 而且從相關(guān)圖看到 ， 可以采用 AR(3) 模型來修正回歸方程的自相關(guān)性 。 要理解這些差別 ， 記住一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是 無條件殘差 bxyu ttt ???? 通過原始變量以及估計(jì)參數(shù) ? 算出。 對(duì)于含有 AR項(xiàng)的模型 ， 基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量 ， 如 R2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差 )和 DW值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差 為基礎(chǔ)的 。 一般 AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi) 。 例如：將例 ， 估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng) AR(3)的非線性方程： tcttt uGDPCSccCS ???? ? 2110 用公式法輸入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)] ttttt uuuu ???? ???? ??? 33221146 輸出結(jié)果顯示為： 47 167。 48 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國1980年～ 2020年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。 167。 ARMA模型 1. 自回歸模型 AR(p) p 階自回歸模型記作 AR(p)， 滿足下面的方程： () 其中：參數(shù) c 為常數(shù)； ?1 , ?2 ,… , ?p 是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2 的白噪聲序列 。 ARMA模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu) ，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的 。 01)( 221 ?????? pP zzzz ??? ?Φtt cuL ???)(Φ() 55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外 ， 則式 ()的 MA算子稱為可逆的 。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?p )， 而與移動(dòng)平均模型參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?q )無關(guān) 。 含有 MA項(xiàng)只能用列表法 。 一般來講 ， 股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列 ， 而通過變換后的變化率數(shù)據(jù) ，是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 可以作為我們研究 、 建模的對(duì)象 。 擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值 。 實(shí)際上 ， 通過利用滯后殘差的預(yù)測(cè)能力 ， 改善了無條件預(yù)測(cè)和殘差 。在輸出表中 ?1用 AR(1)表示， MA(1) 模型的系數(shù) ?1用 MA(1)表示。 我們利用滯后算子多項(xiàng)式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項(xiàng)式有實(shí)根或一對(duì)復(fù)根的倒數(shù)在單位圓外（即 絕對(duì)值大于 1，或 模大于 1），這意味著自回歸過程是 發(fā)散 的。 注意：非線性最小二乘估計(jì)漸進(jìn)等于極大似然估計(jì)且漸進(jìn)有效 。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有 ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì) ， 再從這些值開始非線性估計(jì) 。 在這個(gè)選項(xiàng)下 ， EViews使用系數(shù)向量 C中的值 。 這樣 ， 下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 70 167。 71 通常的， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著滯后階數(shù) k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。如果 rk 在小的滯后階數(shù)下趨于零，表明序列 ut 服從低階移動(dòng)平均過程 72 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。 ut與 ut+k 不相關(guān) ， 這種性質(zhì)通常稱為截尾 。 故可以通過識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式 ， 大致確定它應(yīng)該服從一個(gè) MA(q) 過程 。 因此 ， 可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息 ， 如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號(hào)的信息 。 對(duì)于一個(gè) AR(p)模型 ， tptpttt uuuu ???? ????? ??? ?2211() 將式 （ ） 兩邊同時(shí)乘以 utk ( k = 1, 2 , … , p) ， 再對(duì)方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , … , ?p的線性方程組： ???????????????????????pppppppprrrrrrrrr?????????????22112221111121() 79 其中： r1 , r2 , … , rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , … , p階自相關(guān)系數(shù) 。 80 4. 模型的識(shí)別與建立 我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來識(shí)別 ARMA(p,q) 模型的系數(shù)特點(diǎn)和模型的階數(shù) 。 81 例 利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模 本例將用 ARMA模型模擬我國 1983年 1月～ 2020年 8月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù) CPI（ 上年同月 =100） 的變化規(guī)律 。建模得到 t = () () R2=