【正文】 在單位圓外（即 絕對(duì)值大于 1，或 模大于 1），這意味著自回歸過(guò)程是 發(fā)散 的。 一般 AR(p) 模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。在輸出表中 ?1用 AR(1)表示， MA(1) 模型的系數(shù) ?1用 MA(1)表示。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的 AR系數(shù)。 實(shí)際上 ， 通過(guò)利用滯后殘差的預(yù)測(cè)能力 ， 改善了無(wú)條件預(yù)測(cè)和殘差 。 建立方程 ， 輸入 LS c ar(1) ma(1) tt ucLS ??11 ?? ??? tttt uu ????63 估計(jì)輸出顯示： 64 11111111)()(??????????????????????????????ttttttttttSLSLucSL????????估計(jì)方程可寫為： t = () t = () （ ） R2= . = 也可寫為： tt uSL ?0 1 8 ??11 ?? ???? tttt uu ??65 2. ARMA(p,q)模型的輸出形式 一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無(wú)條件殘差 ， 第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差 。 擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值 。 60 建立如下模型： t = 1, 2, ?, T 估計(jì)輸出結(jié)果顯示為： ttt usrcsr ??? ? 1?61 圖 藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列 sr，紅線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大 ， 而后逐漸變小 ， 基本在 3%上下波動(dòng) 。 一般來(lái)講 ， 股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列 ， 而通過(guò)變換后的變化率數(shù)據(jù) ，是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 可以作為我們研究 、 建模的對(duì)象 。 ARMA(p,q)模型的估計(jì) 1. ARMA(p,q)模型的輸入形式 59 例 利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國(guó)上證收盤指數(shù) （ 時(shí)間期間： 1991年 1月～ 2020年 8月 ） 的月度時(shí)間序列 S作為研究對(duì)象 ， 用AR(1)模型描述其變化規(guī)律 。 含有 MA項(xiàng)只能用列表法 。在上面 AR定義中，我們已見(jiàn)過(guò)這種方法的例子，這對(duì) MA也同樣適用。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?p )， 而與移動(dòng)平均模型參數(shù) (?1 , ?2 ,… , ?q )無(wú)關(guān) 。 tqqt LLLu ????? )1( 221 ?????? ?() ???????????? ttEt 0)(201 221 ????? qq zzz ??? ?56 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型 AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 qtqttptptt uucu ???? ???????? ??????? ?? 1111() tqqtppLLLcuLLL???????)1()1(221221???????????() 57 若令 則 ARMA(p,q)模型 ()平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 01)( 221 ?????? pP zzzz ??? ?Φtt cuL ???)(Φ() 55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外 ， 則式 ()的 MA算子稱為可逆的 。 則式 （ ） 可以改寫為： tptpttt uuucu ???? ?????? ??? ?2211ttpp cuLLL ???? ?????? )1( 221 ?() 54 若設(shè) ?(L) ? 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp ， 令 () 則 ?(z) 是一個(gè)關(guān)于 z的 p次多項(xiàng)式 ， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。 ARMA模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu) ，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的 。 qtqtttu ?? ????? ?????? ?1152 3. ARMA(p,q)模型 () 顯然此模型是模型 ()與 ()的組合形式 ， 稱為混合模型 ， 常記作 ARMA(p,q)。 ARMA模型 1. 自回歸模型 AR(p) p 階自回歸模型記作 AR(p)， 滿足下面的方程： () 其中：參數(shù) c 為常數(shù)； ?1 , ?2 ,… , ?p 是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)； ?t 是均值為 0， 方差為 ? 2 的白噪聲序列 。一般所說(shuō)的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 167。橫截面數(shù)據(jù)中的隨機(jī)變量可以非常方便地通過(guò)其均值、方差或生成數(shù)據(jù)的概率分布加以描述，但是在時(shí)間序列中這種描述很不清楚。 48 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國(guó)1980年～ 2020年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。 在現(xiàn)實(shí)中很多問(wèn)題 ， 如利率波動(dòng) 、 收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列 ， 或者通過(guò)差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列 。 例如：將例 ， 估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng) AR(3)的非線性方程： tcttt uGDPCSccCS ???? ? 2110 用公式法輸入： cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(1)+[ar(1)=c(4), ar(2)=c(5), ar(3)=c(6)] ttttt uuuu ???? ???? ??? 33221146 輸出結(jié)果顯示為： 47 167。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于 1。 一般 AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi) 。 i??????44 對(duì)于簡(jiǎn)單 AR(1)模型 ， 是無(wú)條件殘差 的序列相關(guān)系數(shù) 。 對(duì)于含有 AR項(xiàng)的模型 ， 基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量 ， 如 R2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差 )和 DW值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差 為基礎(chǔ)的 。 43 第二種殘差是估計(jì)的 一期向前預(yù)測(cè)誤差 。 要理解這些差別 ， 記住一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是 無(wú)條件殘差 bxyu ttt ???? 通過(guò)原始變量以及估計(jì)參數(shù) ? 算出。 42 含有 AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出 當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型時(shí) ， 在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心 。 而且從相關(guān)圖看到 ， 可以采用 AR(3) 模型來(lái)修正回歸方程的自相關(guān)性 。因此，用 AR(1)模型修正后的回歸方程的估計(jì)結(jié)果是有效的。 tttt uuu ??? ??? ?? 442237 例 用 AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān) （ 1） 例 關(guān) 。 針對(duì)例 ： 36 需要注意的是 ， 輸入的 ar(1) ar(2) ar(3) 分別代表 3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù) ， 因此 ， 如果我們認(rèn)為擾動(dòng)項(xiàng)僅僅在滯后 2階和滯后 4階存在自相關(guān) ， 其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān) ， 即 則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入： cs c gdp cs(1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性 ， 可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng) 。 34 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為 f (xt , ? )的非線性模型， xt = {1, x1t , x2t ,…, xkt} ，? = {?0 , ?1 ,…, ?k }，若擾動(dòng)項(xiàng)序列存在 p階序列相關(guān)， () () 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng) ?t為白噪聲序列的非線性回歸方程 ， 以 p = 1為例 ， () 使用 GaussNewton算法來(lái)估計(jì)參數(shù) 。 例如 ， 仍討論一元線性回歸模型 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)序列具有 3階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 3的情形： 33 ttt uxy ??? 10 ??ttttt uuuu ???? ???? ??? 332211() () 按照上面處理 AR(1) 的方法 ， 把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去 ， 得到如下表達(dá)式： tttttttttxyxyxyxy??????????????????????????????)()()(31033210221101110() 通過(guò)一系列的化簡(jiǎn)后 ， 仍然可以得到參數(shù)為非線性 ， 誤差項(xiàng) ?t 為白噪聲序列的回歸方程 。 11011 ??? ??? ttt xyu ??ttttt xxyy ?????? ?????? ?? )()1( 11011*1* , ?? ???? tttttt xxxyyy ??ttt xy ???? ???? *10* )1(32 2． 修正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在 p階序列相關(guān) ， 誤差形式可以由 AR(p)過(guò)程給出 。 為了便于理解 ， 先討論一元線性回歸模型 ， 并且具有一階序列相關(guān)的情形 ， 即 p = 1的情形： () () ttt uxy ??? 10 ??ttt uu ?? ?? ? 1把式 （ ） 帶入式 （ ） 中得到 () tttt uxy ???? ???? ? 11031 然而 ， 由式 （ ） 可得 () 再把式 （ ） 代入式 （ ） 中 ， 并整理 () 令 ， 代入式 （ ） 中有