【文章內(nèi)容簡介】 象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題。在現(xiàn)實(shí)中很多問題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列。 本節(jié)中介紹的 ARMA模型 (autoregressive moving average models)可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。 47 經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國1980年～ 2023年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。從經(jīng)濟(jì)的角度看，這個(gè)過程是不可重復(fù)的。橫截面數(shù)據(jù)中的隨機(jī)變量可以非常方便地通過其均值、方差或生成數(shù)據(jù)的概率分布加以描述，但是在時(shí)間序列中這種描述很不清楚。因此，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列需要對(duì)均值和方差給出明晰的定義。 167。 平穩(wěn)時(shí)間序列的概念平穩(wěn)時(shí)間序列的概念 48 如果隨機(jī)過程 的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱 {ut}是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的： 注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則 ut 與 uts 之間的協(xié)方差僅取決于 s ，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長度 s有關(guān)，而與時(shí)期 t 無關(guān)。一般所說的 “平穩(wěn)性 ”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 對(duì)所有的 t 和 s ()()()49167。 ARMA模型模型 1. 自回歸模型自回歸模型 AR(p) p 階自回歸模型記作 AR(p)，滿足下面的方程： ()其中：參數(shù) c 為常數(shù)； ?1 , ?2 ,…, ?p 是自回歸模型系數(shù)； p為自回歸模型階數(shù)； ?t 是均值為 0，方差為 ? 2 的白噪聲序列。 50 2. 移動(dòng)平均模型移動(dòng)平均模型 MA(q) q 階移動(dòng)平均模型記作 MA(q) ，滿足下面的方程： (.5)其中：參數(shù) ? 為常數(shù)；參數(shù) ?1 , ?2 ,…, ?q 是 q 階移動(dòng)平均模型的系數(shù)； ?t 是均值為 0，方差為 ? 2的白噪聲序列。 51 3. ARMA(p,q)模型模型 () 顯然此模型是模型 ()與 ()的組合形式，稱為混合模型，常記作 ARMA(p,q)。 當(dāng) p=0 時(shí)， ARMA(0, q) = MA(q) 當(dāng) q = 0時(shí)， ARMA(p, 0) = AR(p)52167。 ARMA模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 為了理解 AR(p)、 MA(q)和 ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu)，簡單的算子理論是必不可少的。對(duì)于 AR(p)模型 () 設(shè) L為滯后算子，則有 Lut ? ut1, Lput ? utp， 特別地， L0ut?ut。 則式（ ）可以改寫為： ()53若設(shè) ?(L) ? 1 ?1 L ?2 L2 … ?p Lp ，令 ()則 ?(z) 是一個(gè)關(guān)于 z的 p次多項(xiàng)式， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要模型平穩(wěn)的充要條件是條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外的根全部落在單位圓之外 。式 ()可以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式 可以證明如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式 ()可以表示為 MA(?)的形式，從而可以推導(dǎo)出來任何一個(gè)AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。 ()54 2．． MA(q) 模型的可逆性模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式的根全部落在單位圓之外，則式 ()的的 MA算子稱為可逆算子稱為可逆的的 。 盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有在使用可逆表示時(shí)才有效。()55 3．． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型 AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 ()()56若令則 ARMA(p,q)模型模型 ()平穩(wěn)的充要條件是平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部的根全部落在單位圓之外落在單位圓之外 。() ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列。 可以看出可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)性完全取決于自回歸模型的參數(shù) (?1 , ?2 ,…, ?p )，而與移動(dòng)平，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)均模型參數(shù) (?1 , ?2 ,…, ?q )無關(guān)。無關(guān)。 57 ARMA(p,q)模型中 AR和 MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞 ar和 ma定義。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這對(duì) MA也同樣適用。 例如，估計(jì)因變量為 LS的一個(gè) 2階自回歸和 1階動(dòng)平均過程 ARMA(2,1)，應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2) 包含在回歸因子列表中： LS c ar(1) ar(2) ma(1) 如果采用公式法輸入方程，要將 AR項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。 含有 MA項(xiàng)只能用列表法。 167。 ARMA(p,q)模型的估計(jì)模型的估計(jì) 1. ARMA(p,q)模型的輸入形式模型的輸入形式 58例例 利用利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間： 1991年 1月～ 2023年 8月）的月度時(shí)間序列 S作為研究對(duì)象，用AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率， srt = 100(StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ? , T）這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列，而通過變換后的變化率數(shù)據(jù)，是一個(gè)平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對(duì)象。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為 sr。59 建立如下模型： t = 1, 2, ? , T 估計(jì)輸出結(jié)果顯示為： 60圖圖 藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列 sr，紅線是，紅線是 AR(1)模型的擬合值模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在 3% 上下波動(dòng)。近年來波動(dòng)平緩，并且大多在 3% 下面波動(dòng)。擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值。 61 對(duì)例 （時(shí)間期間： 1991年 1月～2023年 8月）的月度時(shí)間序列 S的對(duì)數(shù)差分變換 LS=dlog(S)，即股票收益率用 ARMA(1,1)模型來估計(jì)，來說明 EViews是如何估計(jì)一個(gè) ARMA(p， q)模型的。 建立方程，輸入 LS c ar(1) ma(1)62估計(jì)輸出顯示：63估計(jì)方程可寫為： t = () t = () （ ） R2= . = 也可寫為：64 2. ARMA(p,q)模型的輸出形式模型的輸出形式 一個(gè)含有 AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差 ，第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差 。如名所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。實(shí)際上，通過利用滯后殘差的預(yù)測(cè)能力，改善了無條件預(yù)測(cè)和殘差。 對(duì)于含有 ARMA項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如 R2和 。含有 AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的 AR系數(shù)。對(duì)于簡單AR(1)模型， ?1是無條件殘差的一階序列相關(guān)系數(shù)。在輸出表中 ?1用 AR(1)表示， MA(1) 模型的系數(shù) ?1用 MA(1)表示。對(duì)于平穩(wěn) AR(1)模型， ?1在 1和 +1之間。 一般一般 AR(p) 模型平模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。 65 含有 AR或 MA項(xiàng)的模型的估計(jì)輸出和 OLS模型一樣，只是在回歸輸出的底部增加了一個(gè) AR， MA多項(xiàng)式的根的倒數(shù)（ inverted AR roots 或 inverted MA roots）。我們利用滯后算子多項(xiàng)式寫一般的 ARMA模型： 如果 AR模型滯后多項(xiàng)式有實(shí)根或一對(duì)復(fù)根的倒數(shù)在單位圓外（即 絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于 1，或 模大于模大于 1），這意味著自回歸過程是 發(fā)散發(fā)散 的。如果 MA模型滯后多項(xiàng)式的根的倒數(shù)有在單位圓外的，說明 MA過程是 不可逆不可逆 的，應(yīng)使用不同的初值重新估計(jì)模型，直到得到滿足可逆性的動(dòng)平均。 66 4. ARMA(p,q)模型的估計(jì)選擇模型的估計(jì)選擇 EViews估計(jì) AR模型采用非線性回歸方法， 對(duì)于對(duì)于 MA模模型采取回推技術(shù)型采取回推技術(shù) (Box and Jenkins,1976)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：易被理解，應(yīng)用廣泛，易被擴(kuò)展為非線性定義的模型。注意：非線性最小二乘估計(jì)漸進(jìn)等于極大似然估計(jì)且漸進(jìn)有效。 非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。 EViews自行確定初值。有時(shí)當(dāng)?shù)_(dá)到最大值時(shí)，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同的初值來保證估計(jì)是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初值加速估計(jì)過程。 67 為控制 ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊Options。在 EViews提供的選項(xiàng)中， ARMA Options有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。 EViews缺省方法是 OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有 ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再從這些值開始非線性估計(jì)。另一選擇是使用 OLS或 TSLS系數(shù)的一部分作為初值。可以選擇 、 、 可以將所有初值設(shè)為零。 用戶確定初值選項(xiàng)是 User Supplied。在這個(gè)選項(xiàng)下， EViews使用系數(shù)向量 C中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，打開系數(shù)向量 C窗口，進(jìn)行編輯。 68 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì) EViews如何為 ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解。系數(shù)向量 C按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)： （ 1）變量系數(shù)，以輸入為序； （ 2）定義的 AR項(xiàng)，以輸入為序； （ 3） SAR， MA， SMA系數(shù)（按階數(shù)）。 這樣，下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)： Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 69167。 ARMA模型的識(shí)別模型的識(shí)別 1．利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)識(shí)別．利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)識(shí)別 ARMA(p, q) 模型模型 在實(shí)際研究中，通常的做法是根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的樣本特征，來推斷經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的總體（真實(shí)）特征。在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時(shí)間序列 ut