【文章內容簡介】 機過程稱為自回歸移動平均過程，記為 A R M A ( p , q ) ，其中 p , q 分別表示自回歸和移動平均分量的 最大滯后 階數。 A R MA ( p , q ) 的一般表達式是 xt= ? 1 xt 1+ ? 2 xt 2+ …+ ? p xt p+ ut + ? 1 ut 1 + ? 2 ut 2+ ... + ? q ut q 或 ( 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp ) xt = (1 + ? 1 L + ? 2 L2 +… + ? q Lq ) ut ? ( L ) xt = ? ( L ) ut 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別表示 關于 L 的 p , q 階 特征 多項式，分別稱為自回歸算子和移動平均算子。 A R M A ( p , q ) 過程的 平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分 ，即 ? ( L ) = 0的 全部根取值在單位圓之外（絕對值大于 1 ）。其 可逆性則只依賴于移動平均部分 ，即 ? ( L ) = 0 的根取值應在單位圓之外。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 A R M A ( 1, 1) 過程 ： xt ?1 x t 1 = ut + ?1 ut 1 或 ( 1 ?1 L ) xt = ( 1 + ? 1 L ) ut 只有當 1 ?1 1 和 1 ? 1 1 時，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。 642024650 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R M A ( 1 , 1 ) 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 10 . 0 00 . 0 10 . 0 20 . 0 30 . 0 41 8 8 0 1 9 0 0 1 9 2 0 1 9 4 0 1 9 6 0 1 9 8 0DY 實際中對于非季節(jié)時間序列， A R M A ( p , q ) 過程的最高階數一般各不會超 過 2 。 日本人口差分序列 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若 一個隨機過程 yt含有 d 個單位根，則其經過 d 次差分之后 可以變換成為一個平穩(wěn)的自回歸移動平均過程?？紤]如下模型， ? ( L ) Ddyt = ? ( L ) ut ( 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp ) ( 1 L ) d yt = (1 + ? 1 L + ? 2 L2 +… + ? q Lq ) ut 其中 Ddyt表示 yt經過 d 次差分變?yōu)槠椒€(wěn)過程 ； ? ( L ) 是平穩(wěn) 過程 的自回歸算子 ； ? ( L ) 是 平穩(wěn)過程 的移動平均算子，則稱 yt 為 ( p , d , q ) 階單 積（ 單 整 ） 自回歸移動平均過程，記為 A R IM A ( p , d , q ) 。 這種取名的目的是與后面的稱謂相一致。 A R IM A 過程也稱為 綜合 （求和、積分） 自回歸移動平均過程 。其中 ? ( L ) Dd 稱為 廣義自回歸算子 。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若特征 根恰好在單位圓上 ， 這種根稱為單 位根 。 該過程也是非平穩(wěn)的， 但該過程的特點是經過相應次差分之后可以轉化為一個平穩(wěn)過程。 雖然自然科學領域中的許多時間序列都是平穩(wěn)的，但經濟領域中多數宏觀經濟時間序列卻都是非平穩(wěn)的，即其均值與方差是隨時間的變化而變化的。 伯克斯 — 詹金斯 （ B ox Je n k i ns ） 積數十年理論與實踐的研究指出，時間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運的是經濟時間序列常常具有這種特殊的齊次非平穩(wěn)特性。對于一個 非季節(jié)性經濟時間序列常?？梢杂煤幸粋€或多個單位根的隨機過程模型描述。 單積自回歸移動平均模型 1 2 . 3 W o l d 分解定理 下面用一般表達式描述這個 關系 。 設 漂移項非零的平穩(wěn) A R M A ( p , q )過程如下， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 其中 ? 表示漂移項。則過程 xt的期望是 E( xt) = ? / ? ( 1 ) = ? / ( 1 ?1 ?2 … ?p) = ? 期望 ? 和漂移項 ? 的關系 是： ? ( 1 ) ? = ? 過程 ， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 可 以 寫為， ? ( L ) ( xt ? ) = ? ( L ) ut 因為打開 ( xt ? ) ，上式 寫為 ? ( L ) xt = ? ( 1 ) ? + ? ( L ) ut = ? + ? ( L ) ut ，與 原過程 相同。 這 意味著 任何 一 個 漂移 項 非 零 的 A R M A 過程 實質上 都 是一個 均值 非 零 過程 在 去 掉 均值 后 的 相應 A R M A 過程 。 AR(1) 實根 AR(2) 實根 AR(2) 復根 12. 4 自相關函數 （ 不講 理論，只分析特征 ） 自相關函數 是識別 A R I M A 模型結構的重要手段。 自相關函數 ：是時間序列 x t 按滯后期順序 0, 1, 2, ... 排列的 自 相關 系數列， ? 0 , ? 1 , ? 2 , .. . 。 （ 1 ）因為 自相關函數 值是零對稱的，所以通常只觀察 自相關函數 的右半部分， ? 0 , ? 1 , ? 2 , ... 。 （ 2 ）因為當滯后期 k = 0 時， ? 0 = 1 ，所以 自相關函數 通常只觀察 ? 1 , ? 2 , ... 。 （ 3 ）自回歸 （ AR ） 過程的 自相關函數 呈 拖尾特征 。 移動平均（ MA ）過程的 自相關函數 呈 截尾特征 。 用生成的序列演示。 MA (1) MA (2) MA (2) ARMA模型的識別 用生成的序列演示。 AR(1) AR(2) AR (2) MA (1) 實根 MA (2)實根 MA (2) 復根 12. 5 偏自相關函數 （ 不講 理論，只分析特征 ） 偏 自相關函數 是識別 A R I MA 模型結構的重要手段。 偏 自相關函數 ： 是時間序列 x t 按滯后期順序 1, 2, ... 排列的偏 自相關 系數列， ? 11 , ? 22 , ? 33 , ... 。 偏自相關函數由下式中的紅項組成。 x t = ? 11 x t 1 + u t x t = ? 21 x t 1 + ? 22 x t 2 + u t … x t = ? k 1 x t 1 + ? k 2 x t 2 + … + ? kk x t k + u t 偏 自相關 系數：剔除本期以前各期自回歸 項 影響的自回歸系數值， ? kk 。 （ 1 ）自回歸（ AR ）過程的 偏 自相關函數 呈 截尾特征。 （ 2 ）移動平均（ MA ）過程的 偏 自相關函數 呈 拖尾特征。 ARMA模型的識別 12. 6 時間序列模型的建立與預測 A R IM A 過程 一般 表達式 ： ? ( L ) Ddy t = ? + ? ( L ) u t 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別是 p 階 自回 歸和 q 階 移動平均算子。它們的根都在單位圓之外。 ? 是位移項 （亦稱漂移項） 。 Ddy t 表示對 y t 進行 d 次差分 后的 平穩(wěn) 過程 。 它既包括了 AR ， MA 和 A R MA 過程，也包括了 AR I ， I MA和 AR I MA 過程。 建立時間序列模型通常包括 三個步驟。（ 1 ）模型的識別，（ 2 ）模型參數的估計，（ 3 ）模型的診斷與檢驗。 在分析相關圖時，如果發(fā)現其衰減很慢，即可認為該時間序列是非平穩(wěn)的。 在學習了第 1 3 章 的知識 后也可以用 DF 、 A D F 檢驗判別隨機過程的平穩(wěn)性。 用 DF 、 ADF 檢驗判別隨機過程的平穩(wěn)性更正規(guī) 。 12. 6 時間序列模型的建立與預測 1 ． 對于經濟時間序列，差分次數 d通常取 0 ， 1 或 2 。 2 ． 實際建模中也要防止過度差分。差分后若數據的 極差變大，說明差分 次數太多 了。 3 ． 在平穩(wěn)時間序列基礎上識別A R M A 模型階數。 4 ． 序列的相關圖與偏相關圖可以為識別模型參數 p （自回歸分量的階數）和 q （移動平均分量的階數）的值提供信息。 5 ． 估計的模型形式不是唯一的 。 建立時間序列 A R IM A 模型的步驟 1 ． 識別 用相關圖和偏相關圖識別模型形式（確定參數 d, p , q ）。 2 ． 估計 對初步選取的模型進行參數估計。 3 ． 診斷與檢驗 包括被估參數的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗。 模型可取嗎 ？ 止 可取 不可取 時間序列模型的建立與預測 時間序列模型 的建立與預測 2 5 2 0 1 5 1 050550 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 1 ( p h i = 1 )6420246850 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 2 ( p h i = 0 . 8 )321013450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R 3 ( p h i = 0 . 4 )43210123450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0a r 4 ( p h i = 0 )AR(1)序列 與相關圖 3210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 1 ( t h e t a = 0 . 4 )432101234525 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 2 ( t h e t a = 0 . 9 )時間序列模型 的建立與預測 MA(1)序列 與相關圖 43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 3 ( t h e t a = 0 . 4 )43210123425 50 75 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0M A 4 ( t h e t a = 0 . 9 ) 時間序列模型 的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數和 偏自相關函數 模 型 自相關函數特征 偏自相關函數特征 AR IM A(1 , 1 , 1 ) ? xt = ?1? xt 1 + ut + ?1ut 1 緩慢地 近似 線性衰減。 1 . 0 0 . 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 1