【文章內(nèi)容簡介】 (p)模型 () 設(shè) L為滯后算子，則有 ，特別地， 。則式（ ）可以改寫為： ()52若設(shè) ，令 ()則 ?(z) 是一個關(guān)于 z的 p次多項式， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。式（ ）可以改寫為滯后算子多項式的形式 可以證明如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式（ ）可以表示為如下 MA(?)的形式 ()53()其中且 。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式（）兩端取期望可以求得均值或 ()()()54 式（ ）表示 ut可以由一個白噪聲序列的線性組合表示出來?，F(xiàn)在可以看到，任何一個 AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。事實上，式（ ）是沃爾德分解定理（ Wold 定理）的特例。 沃爾德分解定理（ Wold 定理） 任何零均值協(xié)方差平穩(wěn)過程 ut可表示成如下形式其中： 。 ? t是白噪聲序列，對于任意的 j， ?t的值與 ? tj無關(guān)。 ?t稱為 ut的確定性分量，而 稱為線性非確定性分量。 ()55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式（ ）的 MA算子稱為可逆的 。()56()比較式（ ）和式（ ），可知 () 運用 MA算子的逆運算，式（ ）可寫成 AR(?)的形式 盡管不可逆時也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一些參數(shù)估計和預(yù)測算法只有模型可逆時才有效。 57 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個自回歸模型 AR(p)和一個移動平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項式的形式表示 ()()58若令則 ARMA(p， q)模型（ ）平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。在式（ ）的兩邊除以 ，可以得到 其中 ()()()59()() ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個平穩(wěn)序列。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動平均模型參數(shù)無關(guān)。 60在 Eviews中確定 ARMA形式 ARMA項 模型中 AR和 MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞 ar和 ma定義。在上面AR定義中，我們已見過這種方法的例子。這對 MA也同樣適用。 例如，估計一個 2階自回歸和 1階動平均過程ARMA(2,1)，應(yīng)將 AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將 AR和 MA項系數(shù)明確列出，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。 下面說明 EViews是如何估計一個 ARMA(p， q)模型的 。單擊 Quick/Estimate Equation打開一個方程，輸入 LS c ar(1) ma(1)即可。 62 2. 季節(jié) ARMA項 對于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù) ， Box and Jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自回歸 SAR和季節(jié)動平均 SMA。 SAR(p)定義為帶有 p階滯后的季節(jié)自回歸項。估計中使用的滯后多項式是 AR項和 SAR項定義的結(jié)合。 與此類似， SMA(q)定義為帶有 q階滯后的季節(jié)動平均。估計中使用的滯后多項式是 MA項和 SMA項定義的結(jié)合。存在 SAR項則允許建立一個滯后多項式。 例如：沒有季節(jié)項的 2階 AR過程 63 例如：沒有季節(jié)項的 2階 AR過程 用滯后算子 ，則上式可表示為： 可以通過回歸自變量的 ar(1)， ar(2)項來估計這個過程。 對于季度數(shù)據(jù)，可以加入 sar(4)來表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4)估計誤差結(jié)構(gòu)為： 64等價于 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對系數(shù)有非線性約束的 AR(6)模型。 在另一個例子中，無季節(jié)性的二階 MA過程如下 可以通過包含 ma(1)和 ma(2)來估計二階 MA過程。 65 對季度數(shù)據(jù)，可以添加 sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計模型為：等價于： 參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對系數(shù)有非線性約束的MA(6)模型。還可以在方程說明中同時包括 SAR， SMA項。 66例例 : 利用利用 AR(1) 模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律 本例取我國上證收盤指數(shù)（時間期間： 1991年 1月～2023年 3月）的月度時間序列 S作為研究對象，用 AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對其做變化率， srt = 100(StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ? , T），這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數(shù)序列并不是一個平穩(wěn)的序列，而通過變換后的變化率數(shù)據(jù)，是一個平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對象。記上證股價指數(shù)變化率序列為 sr，建立如下模型： 67回歸結(jié)果為： 68圖 實線是上證股價指數(shù)變化率序列 sr，虛線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3% 上下波動。近年來波動平緩，并且大多在 3% 下面波動。擬合曲線基本代表了這一時期的均值。 69167。 ARMA模型的識別模型的識別 在實際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟指標(biāo)的時間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實）特征。這一節(jié)將引入自相關(guān)系數(shù) (autocorrelations，簡稱 AC) 和偏自相關(guān)系數(shù) (partial autocorrelations，簡稱 PAC) 這兩個統(tǒng)計量去識別 ARMA(p， q) 模型。1. 自相關(guān)系數(shù) 時間序列 ut滯后 k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計 ()70其中 是序列的樣本均值，這是相距 k期值的相關(guān)系數(shù)，稱 rk為時間序列 ut的自相關(guān)系數(shù)。 自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個隨機過程的性質(zhì)。它告訴我們在序列 ut的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。通常的， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著 k的增加而呈現(xiàn) 指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減 ，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項的系數(shù)。712．偏自相關(guān)系數(shù) 偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定 ut1， ut2， … ， utk的條件下， ut與 utk之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù) ? k , k度量。在 p階滯后下估計偏相關(guān)系數(shù)的計算公式如下 ()72其中： rk 是在 k階滯后時的自相關(guān)系數(shù)估計值。這是偏相關(guān)系數(shù)的一致估計。要得到 ? k , k的更確切的估計，需要進行回歸 ()()因此，滯后 k階的偏相關(guān)系數(shù)是當(dāng) ut 對 ut1， … ， utk 作回歸時 utk的系數(shù)。 稱之為偏相關(guān)是因為它度量了 k期間距的相關(guān)而不考慮 k 1期的相關(guān)。73 如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于 k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在 k期滯后下的值趨于零。 一個純的 p 階自回歸過程 AR(p) 的偏相關(guān)系數(shù)在 p階截尾，而純的動平均函數(shù)的偏相關(guān)過程漸進趨于零。 因此，如果我們能求出關(guān)于 ? k , k的估計值，用以檢驗其顯著性水平，就能夠確定時間序列 ut的自相關(guān)的階數(shù)。 3. MA模型的識別MA(q)模型 ()74其中： ?t是均值為 0，方差為 ? 2的白噪聲序列，而自協(xié)方差 ? k計算可得()()75進而得到 () 上式表明對 MA(q)模型，當(dāng) k q時， rk = 0。 ut與 ut+k 不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱為截尾。 即 MA(q) 模型的自相關(guān)函數(shù)在 q步以后是截尾的 。 76 MA(q) 的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著 q的增加變得越來越復(fù)雜，很難給出一個關(guān)于 q的一般表達式，但是，一個 MA(q) 模型對應(yīng)于一個 AR(∞) 模型。因此， MA(q) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的 。故可以通過識別一個序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個 MA(q) 過程。 774. AR模型的識別 可以不加證明的給出 AR(p)過程的自相關(guān)系數(shù) ()其中 ?1 , ?2 , …, ?p 是 AR(p) 模型的特征多項式 ()的 p個特征根， g1 , g2 , …, gp為任意給定的 p個常數(shù)。78由此可知， AR(p) 模型的自相關(guān)系數(shù)會由于 g1 , g2 , …, gp及 k取值的不同，呈現(xiàn)出不同的衰減形式，可能是指數(shù)式的衰減，也可能是符號交替的震蕩式的衰減。例如，對于 AR(1) 模型，其自相關(guān)系數(shù)為，當(dāng) r1 0時， rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng) r1 0時， rk呈震蕩式的衰減。 因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān) AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數(shù)符號的信息。但是，對于自回歸過程 AR(p)，自相關(guān)系數(shù)并不能幫助我們確定 AR(p) 模型的階數(shù) p。所以，可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù) ? k , k， 以便更加全面的描述自相關(guān)過程 AR(p)的統(tǒng)計特征。 79這里我們通過簡單的證明給出 AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù) 。 對于一個 AR(p)模型， ()將式（ ）兩邊同時乘以 utk ( k = 1, 2 , …, p) ，再對方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù) ?1 , ?2 , …, ?p的線性方程組： ()80其中： r1 , r2 , …, rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , …, p階自相關(guān)系數(shù)。然后求解方程組（ ），計算出一組解 ?1 , ?2 , …, ?p，就可得到的偏自相關(guān)系數(shù)為 ： ?k,k= ?k (k =1， 2，… ， p)。 且對于一個 AR(p) 模型， ? k,k的最高階數(shù)為 p，也即 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)是 p階截尾的。 因此，可以通過識別 AR(p) 模型的偏自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)，來確定AR(p) 模型的階數(shù) p，進而設(shè)定正確的模型形式，并通過具體的估計方法估計出 AR(p) 模型的參數(shù)。 81例例 利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)利用自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù) 識別識別 ARMA模型并檢驗序列相關(guān)性模型并檢驗序列相關(guān)性 例 1947年第 1季度～ 1995年第 1季度的消費和 GDP之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)殘差存在序列相關(guān)，并且例 AR(3) 模型修正了殘差的序列相關(guān)性。但是，我們并沒有說明是通過怎樣的方法來判斷殘差服從一個AR(3) 模型。這個例子將借助 Q統(tǒng)計量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖，說明如何判斷模型的階數(shù)?；貧w方程： 8283圖 原方程的殘差圖 從殘差圖 ，殘差序列基本是平穩(wěn)的，這一點還可以用 。下面計算殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。84圖 原方程的殘差序列的相關(guān)圖85 自相關(guān)系數(shù)呈震蕩式遞減，偏自相關(guān)系數(shù)除了 2和3階顯著不為 0以外，其他各項均接近于 0，因此，我們可以猜測殘差序列的自相關(guān)結(jié)構(gòu)可以用 AR(3) 模型來糾正，模型建立如下： 86圖 修正序列相關(guān)后的回歸方程的相關(guān)圖87 5. 模型的識別與建立 我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個統(tǒng)計