【文章內容簡介】 (p)模型 () 設 L為滯后算子，則有 ，特別地， 。則式（ ）可以改寫為： ()52若設 ，令 ()則 ?(z) 是一個關于 z的 p次多項式， AR(p) 模型平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。式（ ）可以改寫為滯后算子多項式的形式 可以證明如果 AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式（ ）可以表示為如下 MA(?)的形式 ()53()其中且 。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式（）兩端取期望可以求得均值或 ()()()54 式（ ）表示 ut可以由一個白噪聲序列的線性組合表示出來?，F在可以看到，任何一個 AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。事實上，式（ ）是沃爾德分解定理（ Wold 定理）的特例。 沃爾德分解定理（ Wold 定理） 任何零均值協方差平穩(wěn)過程 ut可表示成如下形式其中： 。 ? t是白噪聲序列，對于任意的 j， ?t的值與 ? tj無關。 ?t稱為 ut的確定性分量，而 稱為線性非確定性分量。 ()55 2． MA(q) 模型的可逆性 考察 MA(q) 模型 若 的根全部落在單位圓之外，則式（ ）的 MA算子稱為可逆的 。()56()比較式（ ）和式（ ），可知 () 運用 MA算子的逆運算，式（ ）可寫成 AR(?)的形式 盡管不可逆時也可以表征任何給定的數據，但是一些參數估計和預測算法只有模型可逆時才有效。 57 3． ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個自回歸模型 AR(p)和一個移動平均模型 MA(q) 或者以滯后算子多項式的形式表示 ()()58若令則 ARMA(p， q)模型（ ）平穩(wěn)的充要條件是 ?(z) 的根全部落在單位圓之外 。在式（ ）的兩邊除以 ，可以得到 其中 ()()()59()() ARMA模型構造了一種更為復雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個平穩(wěn)序列。 可以看出 ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數，而與移動平均模型參數無關。 60在 Eviews中確定 ARMA形式 ARMA項 模型中 AR和 MA部分應使用關鍵詞 ar和 ma定義。在上面AR定義中，我們已見過這種方法的例子。這對 MA也同樣適用。 例如，估計一個 2階自回歸和 1階動平均過程ARMA(2,1)，應將 AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將 AR和 MA項系數明確列出，形式為： LS = c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)]。 下面說明 EViews是如何估計一個 ARMA(p， q)模型的 。單擊 Quick/Estimate Equation打開一個方程，輸入 LS c ar(1) ma(1)即可。 62 2. 季節(jié) ARMA項 對于帶有季節(jié)因素的季度數據 ， Box and Jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自回歸 SAR和季節(jié)動平均 SMA。 SAR(p)定義為帶有 p階滯后的季節(jié)自回歸項。估計中使用的滯后多項式是 AR項和 SAR項定義的結合。 與此類似， SMA(q)定義為帶有 q階滯后的季節(jié)動平均。估計中使用的滯后多項式是 MA項和 SMA項定義的結合。存在 SAR項則允許建立一個滯后多項式。 例如：沒有季節(jié)項的 2階 AR過程 63 例如：沒有季節(jié)項的 2階 AR過程 用滯后算子 ，則上式可表示為： 可以通過回歸自變量的 ar(1)， ar(2)項來估計這個過程。 對于季度數據，可以加入 sar(4)來表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4)估計誤差結構為： 64等價于 參數 和季節(jié)因素相聯系。注意：這是對系數有非線性約束的 AR(6)模型。 在另一個例子中，無季節(jié)性的二階 MA過程如下 可以通過包含 ma(1)和 ma(2)來估計二階 MA過程。 65 對季度數據，可以添加 sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計模型為：等價于： 參數 和季節(jié)因素相聯系。這是對系數有非線性約束的MA(6)模型。還可以在方程說明中同時包括 SAR， SMA項。 66例例 : 利用利用 AR(1) 模型描述上證指數的變化規(guī)律模型描述上證指數的變化規(guī)律 本例取我國上證收盤指數（時間期間： 1991年 1月～2023年 3月）的月度時間序列 S作為研究對象，用 AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對其做變化率， srt = 100(StSt1)/S t1（ t = 1, 2, ? , T），這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數序列并不是一個平穩(wěn)的序列，而通過變換后的變化率數據，是一個平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對象。記上證股價指數變化率序列為 sr，建立如下模型： 67回歸結果為： 68圖 實線是上證股價指數變化率序列 sr，虛線是 AR(1)模型的擬合值 從圖 1991年～ 1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3% 上下波動。近年來波動平緩，并且大多在 3% 下面波動。擬合曲線基本代表了這一時期的均值。 69167。 ARMA模型的識別模型的識別 在實際研究中，所能獲得的只是經濟指標的時間序列數據，根據經濟指標的樣本特征，來推斷其總體（真實）特征。這一節(jié)將引入自相關系數 (autocorrelations，簡稱 AC) 和偏自相關系數 (partial autocorrelations，簡稱 PAC) 這兩個統計量去識別 ARMA(p， q) 模型。1. 自相關系數 時間序列 ut滯后 k階的自相關系數由下式估計 ()70其中 是序列的樣本均值，這是相距 k期值的相關系數，稱 rk為時間序列 ut的自相關系數。 自相關系數可以部分的刻畫一個隨機過程的性質。它告訴我們在序列 ut的鄰近數據之間存在多大程度的相關性。通常的， AR(p) 模型的自相關系數是隨著 k的增加而呈現 指數衰減或者震蕩式的衰減 ，具體的衰減形式取決于 AR(p) 模型滯后項的系數。712．偏自相關系數 偏自相關系數是指在給定 ut1， ut2， … ， utk的條件下， ut與 utk之間的條件相關性。其相關程度用偏自相關系數 ? k , k度量。在 p階滯后下估計偏相關系數的計算公式如下 ()72其中： rk 是在 k階滯后時的自相關系數估計值。這是偏相關系數的一致估計。要得到 ? k , k的更確切的估計，需要進行回歸 ()()因此，滯后 k階的偏相關系數是當 ut 對 ut1， … ， utk 作回歸時 utk的系數。 稱之為偏相關是因為它度量了 k期間距的相關而不考慮 k 1期的相關。73 如果這種自相關的形式可由滯后小于 k階的自相關表示，那么偏相關在 k期滯后下的值趨于零。 一個純的 p 階自回歸過程 AR(p) 的偏相關系數在 p階截尾，而純的動平均函數的偏相關過程漸進趨于零。 因此，如果我們能求出關于 ? k , k的估計值，用以檢驗其顯著性水平，就能夠確定時間序列 ut的自相關的階數。 3. MA模型的識別MA(q)模型 ()74其中： ?t是均值為 0，方差為 ? 2的白噪聲序列，而自協方差 ? k計算可得()()75進而得到 () 上式表明對 MA(q)模型，當 k q時， rk = 0。 ut與 ut+k 不相關，這種性質通常稱為截尾。 即 MA(q) 模型的自相關函數在 q步以后是截尾的 。 76 MA(q) 的偏自相關系數的具體形式隨著 q的增加變得越來越復雜，很難給出一個關于 q的一般表達式，但是，一個 MA(q) 模型對應于一個 AR(∞) 模型。因此， MA(q) 模型的偏自相關系數一定呈現出某種衰減的形式是拖尾的 。故可以通過識別一個序列的偏自相關系數的拖尾形式，大致確定它應該服從一個 MA(q) 過程。 774. AR模型的識別 可以不加證明的給出 AR(p)過程的自相關系數 ()其中 ?1 , ?2 , …, ?p 是 AR(p) 模型的特征多項式 ()的 p個特征根， g1 , g2 , …, gp為任意給定的 p個常數。78由此可知， AR(p) 模型的自相關系數會由于 g1 , g2 , …, gp及 k取值的不同，呈現出不同的衰減形式，可能是指數式的衰減，也可能是符號交替的震蕩式的衰減。例如，對于 AR(1) 模型，其自相關系數為，當 r1 0時， rk呈指數式的衰減；當 r1 0時， rk呈震蕩式的衰減。 因此，可以通過自相關系數來獲得一些有關 AR(p) 模型的信息，如低階 AR(p) 模型系數符號的信息。但是，對于自回歸過程 AR(p)，自相關系數并不能幫助我們確定 AR(p) 模型的階數 p。所以，可以考慮使用偏自相關系數 ? k , k， 以便更加全面的描述自相關過程 AR(p)的統計特征。 79這里我們通過簡單的證明給出 AR(p)模型的偏自相關系數 。 對于一個 AR(p)模型， ()將式（ ）兩邊同時乘以 utk ( k = 1, 2 , …, p) ，再對方程兩邊取期望值并除以序列 ut的方差得到如下關于系數 ?1 , ?2 , …, ?p的線性方程組： ()80其中： r1 , r2 , …, rp分別為序列 ut 的 1 , 2 , …, p階自相關系數。然后求解方程組（ ），計算出一組解 ?1 , ?2 , …, ?p，就可得到的偏自相關系數為 ： ?k,k= ?k (k =1， 2，… ， p)。 且對于一個 AR(p) 模型， ? k,k的最高階數為 p，也即 AR(p) 模型的偏自相關系數是 p階截尾的。 因此，可以通過識別 AR(p) 模型的偏自相關系數的個數，來確定AR(p) 模型的階數 p，進而設定正確的模型形式，并通過具體的估計方法估計出 AR(p) 模型的參數。 81例例 利用自相關和偏自相關系數利用自相關和偏自相關系數 識別識別 ARMA模型并檢驗序列相關性模型并檢驗序列相關性 例 1947年第 1季度～ 1995年第 1季度的消費和 GDP之間的關系，發(fā)現殘差存在序列相關，并且例 AR(3) 模型修正了殘差的序列相關性。但是，我們并沒有說明是通過怎樣的方法來判斷殘差服從一個AR(3) 模型。這個例子將借助 Q統計量、自相關系數和偏自相關系數圖，說明如何判斷模型的階數。回歸方程： 8283圖 原方程的殘差圖 從殘差圖 ，殘差序列基本是平穩(wěn)的，這一點還可以用 。下面計算殘差序列的自相關系數和偏自相關系數。84圖 原方程的殘差序列的相關圖85 自相關系數呈震蕩式遞減，偏自相關系數除了 2和3階顯著不為 0以外，其他各項均接近于 0，因此，我們可以猜測殘差序列的自相關結構可以用 AR(3) 模型來糾正，模型建立如下： 86圖 修正序列相關后的回歸方程的相關圖87 5. 模型的識別與建立 我們引入了自相關系數和偏自相關系數這兩個統計