【文章內容簡介】 程的譜與對應的自回歸過程的譜存在互逆關系。七、本章小結零均值時間序列統(tǒng)計分析結果類別模 型AR(n)MA(m)ARMA(n,m)模型方程平穩(wěn)性條件特征根全在單位圓內無條件平穩(wěn)特征根全在單位圓內可逆性條件無條件可逆特征根全在單位圓內特征根全在單位圓內傳遞形式逆轉形式Green函數(shù)拖尾截尾拖尾逆函數(shù)截尾拖尾拖尾自相關函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關函數(shù)截尾（截尾應該是快速趨于0）拖尾拖尾自相關系數(shù)拖著長長的尾巴，就是拖尾，AC（自相關autocorr）值是慢慢減少的。而偏相關系數(shù)是突然收斂到臨界值水平范圍內的，這就是截尾，PAC（偏相關parcorr）突然變的很小。AR模型：自相關系數(shù)拖尾，偏自相關系數(shù)截尾；MA模型：自相關系數(shù)截尾，偏自相關函數(shù)拖尾；ARMA模型：自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)均拖尾。[ACF, Lags, Bounds] = autocorr(y)[ACF, Lags, Bounds] = parcorr(y)【本章思考題】敘述AR、MA和ARMA模型的格林函數(shù)形式、平穩(wěn)性和可逆性條件、AFC和PAFC的形式和特點?！緦嶒瀮热荨坑^察前面生成的幾個自回歸序列的波動變化不同之處； 觀察生成的AR模型和MA模型自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的不同之處。平穩(wěn)時間序列模型的建立本章討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，也就是從觀測到的有限樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，通過模型的識別、模型的定階、參數(shù)估計和診斷校驗等步驟，建立起適合的序列模型。學習重點為模型的識別和模型的檢驗。第一節(jié) 模型識別一、 識別依據(jù)模型識別主要是依據(jù)SACF和SPACF的拖尾性與截尾性來完成。常見的一些ARMA類型的SACF和SPACF的統(tǒng)計特征在下表中列出，可供建模時，進行對照選擇。表 ARIMA過程與其自相關函數(shù)偏自相關函數(shù)特征 模 型 自相關函數(shù)特征 偏自相關函數(shù)特征ARIMA(1,1,1)D xt = j1D xt1 + ut + q1ut1緩慢地線性衰減AR（1）xt = j1 xt1 + ut若j1 0，平滑地指數(shù)衰減若j1 0，正負交替地指數(shù)衰減若j11 0，k=1時有正峰值然后截尾若j11 0，k=1時有負峰值然后截尾MA（1）xt = ut + q1 ut1若q1 0，k=1時有正峰值然后截尾若q1 0，k=1時有負峰值然后截尾若q1 0，交替式指數(shù)衰減若q1 0，負的平滑式指數(shù)衰減AR（2）xt = j1 xt1 + j2 xt2 + ut指數(shù)或正弦衰減（兩個特征根為實根）（兩個特征根為共軛復根）k=1, 2時有兩個峰值然后截尾（j1 0，j2 0）（j1 0，j2 0）MA（2）xt = ut + q1 ut1+ q2 ut2k=1, 2有兩個峰值然后截尾（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）指數(shù)或正弦衰減（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）ARMA（1，1）xt = j1 xt1 + ut + q1 ut1k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）ARMA（2，1）xt = j1 xt1+ j2 xt2+ ut + q1 ut1k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0）k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，j2 0，q1 0）ARMA（1，2）xt = j1 xt1+ ut + q1 ut1+ q2 ut2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0，q2 0）（j1 0，q1 0，q2 0）k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，q1 0，q2 0）（j1 0，q1 0，q2 0）ARMA（2，2）xt=j1xt1+j2xt2+ ut +q1ut1+q2ut2k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）k=1, 2有兩個峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）二、 拖尾性與截尾性的判定理論上，對于MA(q)過程，其自相關函數(shù)在q步之后全部為零，實際上并非如此，因為為樣本數(shù)據(jù)的估計值。同樣地，偏自相關函數(shù)也存在類似的問題。判定在m步之后截尾的做法是：實際判斷時，以頻率代概率。判定在n步之后截尾的做法是：實際判斷時，以頻率代概率。拖尾：即被負指數(shù)控制收斂于零。三、 實例【例41】現(xiàn)有磨輪資料250個，試判斷該數(shù)據(jù)的零均值及平穩(wěn)性。1．時間序列趨勢圖2．零均值化后的圖形3．ACF與PACF圖形ACFPACF第二節(jié) 模型定階一、 殘差方差圖法基本思想：以AR模型為例。對于時間序列，如果其合理（真正的）階數(shù)為p，當我們用一個小于p的值為階數(shù)去擬合它，所得到的剩余平方和必然偏大， ，不僅受剩余平方和的影響，而且還受自由度的影響。將比真正模型的大。原因在于它把模型中原本有的一些高階項給省略了，而這些項的存在對減小殘差的方差是有明顯貢獻的。反之，如果我們用一個大于p的值作為階數(shù)去擬合它（過度擬合），雖然剩余平方和減少，但已不明顯，這時可能還會增大。因此，我們可以用一系列階數(shù)逐漸遞增的模型對進行擬合，每次都求出，作出階數(shù)n和殘差方差的圖形，進行判斷。這種方法直觀簡單，但沒有量的準則，具有主觀性。二、 自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）定階法它們不僅可以用來識別模型，而且還可以用來確定模型的階。三、 F檢驗定階法基本思想：首先用ARMA(n,m)對進行過度擬合，再令為零，用F檢驗判定階數(shù)降低之后的模型ARMA(n1,m1)與ARMA(n,m)之間是否存在顯著性差異。如果有顯著性差異，階數(shù)能夠升高；如果沒有差異，階數(shù)可以降低。四、 最佳準則函數(shù)定階法最佳準則函數(shù)法，是構造一個準則函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型對原始數(shù)據(jù)擬合的接近程度（殘差的大小），同時又要考慮模型中所含待定參數(shù)的個數(shù)。建模時，根據(jù)函數(shù)的取值確定模型優(yōu)劣，使準則函數(shù)值達到最小的模型是最佳模型。準則函數(shù)法是日本學者赤池弘次(Akaike)最先提出。主要有FPE準則，AIC準則，BIC準則，SC準則。1． FPE準則基本思想：根據(jù)模型的預報誤差來判斷自回歸模型的階數(shù)是否恰當，合理的階數(shù)應該能夠使得模型的最終預報誤差最小?；纠碚摚簩τ谀Ｐ?，時間序列的一步預報誤差的方差為：，而是的無偏估計，于是 （1）（1）中第一個因子，隨著階數(shù)的增加而增加；第二個因子隨著階數(shù)的增加而減少。因此它實質上就是一個最佳準則函數(shù)。該最佳準則函數(shù)還可寫成： 詳見教材中P103的證明。基本操作：按照從低階到高階的方式建立AR模型，并計算出相應的FPE的值，從中選擇最小的FPE對應的n作為模型的階，即。2． AIC準則（Akaike Information Criterion）基本思想：建立模型時，根據(jù)準則函數(shù)取值來判斷模型的優(yōu)劣，使準則函數(shù)達到極小的是最佳模型，該準則是在模型極大似然估計的基礎上建立起來的?；纠碚摚鹤钚⌒畔蕜tAIC函數(shù)的一般形式： （2）在（2）式中“模型極大似然度”一般用似然函數(shù)表示，設樣本長度N充分大時，ARMA模型得到近似極大似然估計的對數(shù)似然函數(shù)為： 詳細的證明，參見顧嵐：《時間序列分析——在經(jīng)濟中的應用》，中國統(tǒng)計出版社，1994年2月。 （3）由于（3）中第二項與模型及參數(shù)個數(shù)無關，可以舍棄。于是得到采用ARMA（n,m）模型擬合的AIC準則函數(shù)： 在EVIEWS軟件中的定義與此不同。 （4）使得AIC信息量取值最小的n和m，即是模型理想的階。由（4）可以看出AIC信息量由兩部分構成：前一部分體現(xiàn)模型的擬合好壞，后一部分表明模型參數(shù)的多少。顯然我們希望模型擬合得越精確真好，但過高的精度要求又會導致參數(shù)的增多及模型的復雜，可能反而影響模型的擬合效果，因此，實質上，它就是對擬合精度和參數(shù)個數(shù)二者加以適當權重?？梢韵胂?，當模型中參數(shù)個數(shù)K由少至多增加時，擬合誤差改進顯著，（4）中第一項起主要作用，AIC明顯下降；隨著模型階數(shù)增加，模型擬合殘差改進甚微，AIC上升。AIC的最小值處對應著最佳模型的階數(shù)。3． BIC準則AIC準則為時間序列模型定階帶來了許多方便，但AIC準則也有不足之處。從理論上已證明了AIC準則不能給出模型階數(shù)的相容估計，即當樣本趨于無窮大時，由AIC準則選擇的模型階數(shù)不能收斂到其真值（通常比真值高）。Akaike于1976年提出了BIC準則彌補了AIC準則的不足。定義：，其中K是模型的自由參數(shù)個數(shù)，對于ARMA(n,m)模型。從理論上已證明，BIC準則確定的模型階數(shù)是真實階數(shù)的相容估計。若，則是要選擇的最佳階數(shù)。注：①與的關系見圖，用AIC準則往往比用BIC準則確定的階數(shù)高。KK0/K0②我們還可以定義其它類型的準則函數(shù)，如 （5）其中C是選定的常數(shù)。定義不同的準則函數(shù)是為了對擬合殘差與參數(shù)個數(shù)之間進行不同的權衡，以體現(xiàn)使用者對于二者重要性的不同側重。當然，對于同一數(shù)據(jù)序列使用不同準則挑選的最優(yōu)模型不同，其漸近性質也不同。③在實際問題中，相應于不同階數(shù)的準則函數(shù)值往往不是理想的下凸函數(shù)，而是總的趨勢符合下凸函數(shù)變化規(guī)律，同時有隨機起伏，有時可能出現(xiàn)準則函數(shù)下降到某值后，沒有明顯的增長趨勢，而是隨機的起伏擺動。遇到這種情形，如果適當?shù)卦龃螅?）中常數(shù)系數(shù)C的值，可以使準則函數(shù)在后一段有明顯的增長趨勢。五、 實例【例42】沿用例41中的數(shù)據(jù)，進行模型的定階。第三節(jié) 參數(shù)估計一、 矩估計1．自回歸模型的參數(shù)估計：采用YULEWALK方程 （1）2．移動平均模型的參數(shù)估計： 可采用：直接法、迭代法、牛頓拉普森算法。 （2）（1）直接解法（2）線性迭代法（3）牛頓拉普森算法 詳見顧嵐：《時間序列分析在經(jīng)濟中的應用》，中國統(tǒng)計出版社，P120。3．自回歸移動平均模型的參數(shù)估計：將模型分成兩個部分，先對AR部分應用YULEWALK方程，計算得到剩余序列，對剩余序列應用MA模型的參數(shù)估計方法。二、 最小二乘估計（LS）1．線性最小二乘估計2．非線性最小二乘估計：高斯牛頓法；最速下降法；三、 極大似然估計（ML）對于時間序列模型，一般采用極大似然法估計參數(shù)。對于一組相互獨立的隨機變量xt,（t = 1, 2, …, T），當?shù)玫揭粋€樣本 (x1, x2, …, xT) 時，似然函數(shù)可表示為 L (g | x1, x2, …, xT) = f (x1| g ) f (x2| g ) … f (xT | g ) = | g ) (1)其中g =（g1, g2, …, gk）是一組未知參數(shù)。對數(shù)似然函數(shù)是 log L = f (xt | g ),通過選擇 g 使上式達到最