【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 程的譜與對(duì)應(yīng)的自回歸過程的譜存在互逆關(guān)系。七、本章小結(jié)零均值時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果類別模 型AR(n)MA(m)ARMA(n,m)模型方程平穩(wěn)性條件特征根全在單位圓內(nèi)無條件平穩(wěn)特征根全在單位圓內(nèi)可逆性條件無條件可逆特征根全在單位圓內(nèi)特征根全在單位圓內(nèi)傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式Green函數(shù)拖尾截尾拖尾逆函數(shù)截尾拖尾拖尾自相關(guān)函數(shù)拖尾截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)截尾（截尾應(yīng)該是快速趨于0）拖尾拖尾自相關(guān)系數(shù)拖著長(zhǎng)長(zhǎng)的尾巴，就是拖尾，AC（自相關(guān)autocorr）值是慢慢減少的。而偏相關(guān)系數(shù)是突然收斂到臨界值水平范圍內(nèi)的，這就是截尾，PAC（偏相關(guān)parcorr）突然變的很小。AR模型：自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)截尾；MA模型：自相關(guān)系數(shù)截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾；ARMA模型：自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾。[ACF, Lags, Bounds] = autocorr(y)[ACF, Lags, Bounds] = parcorr(y)【本章思考題】敘述AR、MA和ARMA模型的格林函數(shù)形式、平穩(wěn)性和可逆性條件、AFC和PAFC的形式和特點(diǎn)?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】觀察前面生成的幾個(gè)自回歸序列的波動(dòng)變化不同之處； 觀察生成的AR模型和MA模型自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的不同之處。平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立本章討論平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題，也就是從觀測(cè)到的有限樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，通過模型的識(shí)別、模型的定階、參數(shù)估計(jì)和診斷校驗(yàn)等步驟，建立起適合的序列模型。學(xué)習(xí)重點(diǎn)為模型的識(shí)別和模型的檢驗(yàn)。第一節(jié) 模型識(shí)別一、 識(shí)別依據(jù)模型識(shí)別主要是依據(jù)SACF和SPACF的拖尾性與截尾性來完成。常見的一些ARMA類型的SACF和SPACF的統(tǒng)計(jì)特征在下表中列出，可供建模時(shí)，進(jìn)行對(duì)照選擇。表 ARIMA過程與其自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)特征 模 型 自相關(guān)函數(shù)特征 偏自相關(guān)函數(shù)特征ARIMA(1,1,1)D xt = j1D xt1 + ut + q1ut1緩慢地線性衰減AR（1）xt = j1 xt1 + ut若j1 0，平滑地指數(shù)衰減若j1 0，正負(fù)交替地指數(shù)衰減若j11 0，k=1時(shí)有正峰值然后截尾若j11 0，k=1時(shí)有負(fù)峰值然后截尾MA（1）xt = ut + q1 ut1若q1 0，k=1時(shí)有正峰值然后截尾若q1 0，k=1時(shí)有負(fù)峰值然后截尾若q1 0，交替式指數(shù)衰減若q1 0，負(fù)的平滑式指數(shù)衰減AR（2）xt = j1 xt1 + j2 xt2 + ut指數(shù)或正弦衰減（兩個(gè)特征根為實(shí)根）（兩個(gè)特征根為共軛復(fù)根）k=1, 2時(shí)有兩個(gè)峰值然后截尾（j1 0，j2 0）（j1 0，j2 0）MA（2）xt = ut + q1 ut1+ q2 ut2k=1, 2有兩個(gè)峰值然后截尾（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）指數(shù)或正弦衰減（q1 0，q2 0）（q1 0，q2 0）ARMA（1，1）xt = j1 xt1 + ut + q1 ut1k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）k=1有峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0）（j1 0，q1 0）ARMA（2，1）xt = j1 xt1+ j2 xt2+ ut + q1 ut1k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0）k=1, 2有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，j2 0，q1 0）ARMA（1，2）xt = j1 xt1+ ut + q1 ut1+ q2 ut2k=1, 2有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)衰減（j1 0，q1 0，q2 0）（j1 0，q1 0，q2 0）k=1有峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，q1 0，q2 0）（j1 0，q1 0，q2 0）ARMA（2，2）xt=j1xt1+j2xt2+ ut +q1ut1+q2ut2k=1, 2有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）k=1, 2有兩個(gè)峰值然后按指數(shù)或正弦衰減（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）（j1 0，j2 0，q1 0，q2 0）二、 拖尾性與截尾性的判定理論上，對(duì)于MA(q)過程，其自相關(guān)函數(shù)在q步之后全部為零，實(shí)際上并非如此，因?yàn)闉闃颖緮?shù)據(jù)的估計(jì)值。同樣地，偏自相關(guān)函數(shù)也存在類似的問題。判定在m步之后截尾的做法是：實(shí)際判斷時(shí)，以頻率代概率。判定在n步之后截尾的做法是：實(shí)際判斷時(shí)，以頻率代概率。拖尾：即被負(fù)指數(shù)控制收斂于零。三、 實(shí)例【例41】現(xiàn)有磨輪資料250個(gè)，試判斷該數(shù)據(jù)的零均值及平穩(wěn)性。1．時(shí)間序列趨勢(shì)圖2．零均值化后的圖形3．ACF與PACF圖形ACFPACF第二節(jié) 模型定階一、 殘差方差圖法基本思想：以AR模型為例。對(duì)于時(shí)間序列，如果其合理（真正的）階數(shù)為p，當(dāng)我們用一個(gè)小于p的值為階數(shù)去擬合它，所得到的剩余平方和必然偏大， ，不僅受剩余平方和的影響，而且還受自由度的影響。將比真正模型的大。原因在于它把模型中原本有的一些高階項(xiàng)給省略了，而這些項(xiàng)的存在對(duì)減小殘差的方差是有明顯貢獻(xiàn)的。反之，如果我們用一個(gè)大于p的值作為階數(shù)去擬合它（過度擬合），雖然剩余平方和減少，但已不明顯，這時(shí)可能還會(huì)增大。因此，我們可以用一系列階數(shù)逐漸遞增的模型對(duì)進(jìn)行擬合，每次都求出，作出階數(shù)n和殘差方差的圖形，進(jìn)行判斷。這種方法直觀簡(jiǎn)單，但沒有量的準(zhǔn)則，具有主觀性。二、 自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）定階法它們不僅可以用來識(shí)別模型，而且還可以用來確定模型的階。三、 F檢驗(yàn)定階法基本思想：首先用ARMA(n,m)對(duì)進(jìn)行過度擬合，再令為零，用F檢驗(yàn)判定階數(shù)降低之后的模型ARMA(n1,m1)與ARMA(n,m)之間是否存在顯著性差異。如果有顯著性差異，階數(shù)能夠升高；如果沒有差異，階數(shù)可以降低。四、 最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法最佳準(zhǔn)則函數(shù)法，是構(gòu)造一個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合的接近程度（殘差的大?。?，同時(shí)又要考慮模型中所含待定參數(shù)的個(gè)數(shù)。建模時(shí)，根據(jù)函數(shù)的取值確定模型優(yōu)劣，使準(zhǔn)則函數(shù)值達(dá)到最小的模型是最佳模型。準(zhǔn)則函數(shù)法是日本學(xué)者赤池弘次(Akaike)最先提出。主要有FPE準(zhǔn)則，AIC準(zhǔn)則，BIC準(zhǔn)則，SC準(zhǔn)則。1． FPE準(zhǔn)則基本思想：根據(jù)模型的預(yù)報(bào)誤差來判斷自回歸模型的階數(shù)是否恰當(dāng)，合理的階數(shù)應(yīng)該能夠使得模型的最終預(yù)報(bào)誤差最小?；纠碚摚簩?duì)于模型，時(shí)間序列的一步預(yù)報(bào)誤差的方差為：，而是的無偏估計(jì)，于是 （1）（1）中第一個(gè)因子，隨著階數(shù)的增加而增加；第二個(gè)因子隨著階數(shù)的增加而減少。因此它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)最佳準(zhǔn)則函數(shù)。該最佳準(zhǔn)則函數(shù)還可寫成： 詳見教材中P103的證明。基本操作：按照從低階到高階的方式建立AR模型，并計(jì)算出相應(yīng)的FPE的值，從中選擇最小的FPE對(duì)應(yīng)的n作為模型的階，即。2． AIC準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion）基本思想：建立模型時(shí)，根據(jù)準(zhǔn)則函數(shù)取值來判斷模型的優(yōu)劣，使準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到極小的是最佳模型，該準(zhǔn)則是在模型極大似然估計(jì)的基礎(chǔ)上建立起來的?；纠碚摚鹤钚⌒畔?zhǔn)則AIC函數(shù)的一般形式： （2）在（2）式中“模型極大似然度”一般用似然函數(shù)表示，設(shè)樣本長(zhǎng)度N充分大時(shí)，ARMA模型得到近似極大似然估計(jì)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： 詳細(xì)的證明，參見顧嵐：《時(shí)間序列分析——在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用》，中國統(tǒng)計(jì)出版社，1994年2月。 （3）由于（3）中第二項(xiàng)與模型及參數(shù)個(gè)數(shù)無關(guān)，可以舍棄。于是得到采用ARMA（n,m）模型擬合的AIC準(zhǔn)則函數(shù)： 在EVIEWS軟件中的定義與此不同。 （4）使得AIC信息量取值最小的n和m，即是模型理想的階。由（4）可以看出AIC信息量由兩部分構(gòu)成：前一部分體現(xiàn)模型的擬合好壞，后一部分表明模型參數(shù)的多少。顯然我們希望模型擬合得越精確真好，但過高的精度要求又會(huì)導(dǎo)致參數(shù)的增多及模型的復(fù)雜，可能反而影響模型的擬合效果，因此，實(shí)質(zhì)上，它就是對(duì)擬合精度和參數(shù)個(gè)數(shù)二者加以適當(dāng)權(quán)重?？梢韵胂?，當(dāng)模型中參數(shù)個(gè)數(shù)K由少至多增加時(shí)，擬合誤差改進(jìn)顯著，（4）中第一項(xiàng)起主要作用，AIC明顯下降；隨著模型階數(shù)增加，模型擬合殘差改進(jìn)甚微，AIC上升。AIC的最小值處對(duì)應(yīng)著最佳模型的階數(shù)。3． BIC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則為時(shí)間序列模型定階帶來了許多方便，但AIC準(zhǔn)則也有不足之處。從理論上已證明了AIC準(zhǔn)則不能給出模型階數(shù)的相容估計(jì)，即當(dāng)樣本趨于無窮大時(shí)，由AIC準(zhǔn)則選擇的模型階數(shù)不能收斂到其真值（通常比真值高）。Akaike于1976年提出了BIC準(zhǔn)則彌補(bǔ)了AIC準(zhǔn)則的不足。定義：，其中K是模型的自由參數(shù)個(gè)數(shù)，對(duì)于ARMA(n,m)模型。從理論上已證明，BIC準(zhǔn)則確定的模型階數(shù)是真實(shí)階數(shù)的相容估計(jì)。若，則是要選擇的最佳階數(shù)。注：①與的關(guān)系見圖，用AIC準(zhǔn)則往往比用BIC準(zhǔn)則確定的階數(shù)高。KK0/K0②我們還可以定義其它類型的準(zhǔn)則函數(shù)，如 （5）其中C是選定的常數(shù)。定義不同的準(zhǔn)則函數(shù)是為了對(duì)擬合殘差與參數(shù)個(gè)數(shù)之間進(jìn)行不同的權(quán)衡，以體現(xiàn)使用者對(duì)于二者重要性的不同側(cè)重。當(dāng)然，對(duì)于同一數(shù)據(jù)序列使用不同準(zhǔn)則挑選的最優(yōu)模型不同，其漸近性質(zhì)也不同。③在實(shí)際問題中，相應(yīng)于不同階數(shù)的準(zhǔn)則函數(shù)值往往不是理想的下凸函數(shù)，而是總的趨勢(shì)符合下凸函數(shù)變化規(guī)律，同時(shí)有隨機(jī)起伏，有時(shí)可能出現(xiàn)準(zhǔn)則函數(shù)下降到某值后，沒有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，而是隨機(jī)的起伏擺動(dòng)。遇到這種情形，如果適當(dāng)?shù)卦龃螅?）中常數(shù)系數(shù)C的值，可以使準(zhǔn)則函數(shù)在后一段有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)。五、 實(shí)例【例42】沿用例41中的數(shù)據(jù)，進(jìn)行模型的定階。第三節(jié) 參數(shù)估計(jì)一、 矩估計(jì)1．自回歸模型的參數(shù)估計(jì)：采用YULEWALK方程 （1）2．移動(dòng)平均模型的參數(shù)估計(jì)： 可采用：直接法、迭代法、牛頓拉普森算法。 （2）（1）直接解法（2）線性迭代法（3）牛頓拉普森算法 詳見顧嵐：《時(shí)間序列分析在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用》，中國統(tǒng)計(jì)出版社，P120。3．自回歸移動(dòng)平均模型的參數(shù)估計(jì)：將模型分成兩個(gè)部分，先對(duì)AR部分應(yīng)用YULEWALK方程，計(jì)算得到剩余序列，對(duì)剩余序列應(yīng)用MA模型的參數(shù)估計(jì)方法。二、 最小二乘估計(jì)（LS）1．線性最小二乘估計(jì)2．非線性最小二乘估計(jì)：高斯牛頓法；最速下降法；三、 極大似然估計(jì)（ML）對(duì)于時(shí)間序列模型，一般采用極大似然法估計(jì)參數(shù)。對(duì)于一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量xt,（t = 1, 2, …, T），當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)樣本 (x1, x2, …, xT) 時(shí)，似然函數(shù)可表示為 L (g | x1, x2, …, xT) = f (x1| g ) f (x2| g ) … f (xT | g ) = | g ) (1)其中g(shù) =（g1, g2, …, gk）是一組未知參數(shù)。對(duì)數(shù)似然函數(shù)是 log L = f (xt | g ),通過選擇 g 使上式達(dá)到最