【文章內(nèi)容簡介】 大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 30 ? 從圖形上看： 人均居民消費(fèi)（ CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。 ? 從滯后 14期的 QLB統(tǒng)計量看： CPC與 GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為 ，超過了顯著性水平為 5%時的臨界值 。再次表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。 不過， ，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是 協(xié)整 的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是 協(xié)整 的。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 31 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 32 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計量進(jìn)行統(tǒng)計檢驗則是更為準(zhǔn)確與重要的。 單位根檢驗（ unit root test） 是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。 DF( 迪基 Dicky、福勒 Fuller)檢驗 我們已知道，隨機(jī)游走序列 Xt=Xt1+?t 是 非平穩(wěn)的，其中 ?t是白噪聲。 而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=?Xt1+?t 中參數(shù) ?=1時的情形。 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 33 也就是說，我們對式 Xt=?Xt1+?t （ *） 做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn) ?=1，就說隨機(jī)變量 Xt有一個 單位根 。 （ *）式可變形式成差分形式： ?Xt=(?1)Xt1+ ?t =?Xt1+ ? t (**) 檢驗（ *）式是否存在單位根 ?=1，也可通過（ **）式判斷是否有 ? =0。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 34 一般地 : ? 檢驗一個時間序列 Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型 Xt=?+?Xt1+?t （ *） 中的參數(shù) ?是否小于 1。 或者： 檢驗其等價變形式 ?Xt=?+?Xt1+?t （ **） 中的參數(shù) ?是否小于 0 。 在第二節(jié)中將證明，（ *）式中的參數(shù) ?1或 ?=1時，時間序列是非平穩(wěn)的 。 對應(yīng)于（ **）式，則是 ?0或 ? =0。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 35 ? 因此，針對式 ?Xt=?+?Xt1+?t 我們關(guān)心的檢驗為： 零假設(shè) H0： ?=0。 備擇假設(shè) H1： ?0 上述檢驗可通過 OLS法下的 t檢驗完成 。 然而 ， 在零假設(shè) （ 序列非平穩(wěn) ） 下 ， 即使在大樣本下 t統(tǒng)計量也是有偏誤的 （ 向下偏倚 ） ， 通常的 t 檢驗無法使用 。 Dicky和 Fuller于 1976年提出了這一情形下 t統(tǒng)計量服從的分布 （ 這時的 t統(tǒng)計量稱為 ?統(tǒng)計量 ） ， 即 DF分布 （ 見表） 。 由于 t統(tǒng)計量的向下偏倚性 ， 它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布 。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 36 ? 因此，可通過 OLS法估計 ?Xt=?+?Xt1+?t 并計算 t統(tǒng)計量的值，與 DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果： t臨界值，則拒絕零假設(shè) H0： ? =0， 認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 表 DF 分布臨界值表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 ∝ t 分布臨界值 （ n= ∝ ） 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 37 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。 例如：“如果計算得到的 t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕 ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 38 進(jìn)一步的問題 ： 在上述使用 ?Xt=?+?Xt1+?t 對時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗中 ， 實際上 假定了時間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項的一階自回歸過程 AR(1)生成的 。 但在實際檢驗中 ， 時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的 ， 或者隨機(jī)誤差項并非是白噪聲 ， 這樣用 OLS法進(jìn)行估計均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項出現(xiàn)自相關(guān) （ autocorrelation） ， 導(dǎo)致 DF檢驗無效 。 另外 ， 如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（ 如上升或下降 ） ， 則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的 自相關(guān)隨機(jī)誤差項問題 。 為了保證 DF檢驗中隨機(jī)誤差項的白噪聲特性 ， Dicky和Fuller對 DF檢驗進(jìn)行了擴(kuò)充 ， 形成了 ADF（ Augment DickeyFuller ） 檢驗 。 ADF檢驗 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 39 ADF檢驗是通過下面三個模型完成的： 模型 1 ： tmiitittXXX ??? ????? ????11 （ * ） 模型 2 ： tmiitittXXX ???? ?????? ????11 （ ** ） 模型 3 ： tmiitittXXtX ????? ??????? ????11 （ *** ） 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 模型 3 中的 t是時間變量 ，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。 檢驗的假設(shè)都是：針對 H1: ?0,檢驗 H0： ?=0，即存在一單位根 。模型 1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 40 ? 實際檢驗時從模型 3開始 ， 然后模型 模型 1。 何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型 1為止。 檢驗原理 與 DF檢驗相同，只是對模型 3進(jìn)行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。 表 ADF分布臨界值表。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 表 不同模型使用的 ADF 分布臨界值表 模型 統(tǒng)計量 樣本容量 25 50 100 250 500 1 ? ? 500 25 50 100 250 500 ? ? 500 25 50 100 250 500 2 ? ? 500 25 50 100 250 500 ? ? 500 25 50 100 250 500 ? ? 500 25 50 100 250 500 3 ? ? 500 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 42 同時估計出上述三個模型的適當(dāng)形式 ， 然后通過 ADF臨界值表檢驗 零假設(shè) H0： ?=0。 1） 只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè) ， 就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的； 2） 當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時 ， 則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的 。 這里所謂 模型適當(dāng)?shù)男问?就是在每個模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?， 以使模型的殘差項是一個白噪聲 （ 主要保證不存在自相關(guān) ） 。 一個簡單的檢驗過程： 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 43 例 檢驗 1978~2023年間中國支出法 GDP時間序列的平穩(wěn)性 。 211 0 9 0 1 1 ??? ????????? tttt G D PG D PG D PTG D P （ 1 . 2 6 ） ( 1 . 9 1 ) ( 0 . 3 1 ) ( 8 . 9 4 ) ( 4 . 9 5 ) 1）經(jīng)過償試，模型 3取了 2階滯后： 通過 拉格朗日乘數(shù)檢驗 （ Lagrange multiplier test） 對隨機(jī)誤差項的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗： LM（ 1） =， LM（ 2） =， 小于 5%顯著性水平下自由度分別為 1與 2的 ?2分布的臨界值 ，可見不存在自相關(guān)性 ， 因此該模型的設(shè)定是正確的 。 從 ?的系數(shù)看 ， t臨界值 ， 不能拒絕存在單位根的零假設(shè) 。 時間 T的 t統(tǒng)計量小于 ADF分布表中的臨界值 ， 因此 不能拒絕不存在趨勢項的零假設(shè) 。 需進(jìn)一步檢驗?zāi)Ｐ?2 。 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 Stationary Time Series 3/20/2023 Ch8Time Series Econometrics Models 制作與教學(xué) 武漢理工大學(xué) 管理學(xué)院 熊偉 Page 44 2） 經(jīng)試驗 ， 模型 2中滯后項取 2階： 211 ??? ??????? tttt G D PG D PG D PG D P （ 0 . 9 0 ） ( 3 . 3 8 )