時間序列模型ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-27 18:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1階自回歸模型 AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到 Xt的方差由于 Xt僅與 ?t相關(guān)，因此， E(Xt1?t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有 E(Xt2)=E(Xt12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負的常數(shù)，從而有 |?|1。 而 AR(1)的特征方程的根為 z=1/? AR(1)穩(wěn)定，即 |?| 1，意味著特征根大于 1。AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對 AR(2)模型 方程兩邊同乘以 Xt，再取期望得： 又由于于是 同樣地，由原式還可得到于是方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 ?1+?21, ?2?11, |?2|1這就是 AR(2)的平穩(wěn)性條件 ，或稱為 平穩(wěn)域 。它是一頂點分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形。 對應(yīng)的特征方程 1?1z?2z2=0 的兩個根 z z2滿足： z1z2=1/?2 , z1+z2 =?1/?2 AR(2)模型解出 ?1， ?2由 AR(2)的平穩(wěn)性， |?2|=1/|z1||z2|1 ，則至少有一個根的模大于 1，不妨設(shè) |z1|1，有于是 | z2 |1。由 ?2 ?1 1可推出同樣的結(jié)果。 對高階自回模型 AR(p)來說 ，多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有 一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性 ： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是 ： ?1+?2+? +?p1 (2)由于 ?i(i=1,2,? p)可正可負， AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |?1|+|?2|+? +|?p|1 對于移動平均模型 MR(q)： Xt=?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 其中 ?t是一個白噪聲，于是 MA(q)模型的平穩(wěn)性 當滯后期大于 q時， Xt的自協(xié)方差系數(shù)為 0。因此 :有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的 。 由于 ARMA (p,q)模型是 AR(p)模型與 MA(q)模型的組合：Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此 ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于 AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當 AR(p)部分平穩(wěn)時，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 最后 （ 1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型； （ 2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應(yīng)的平穩(wěn)隨機過程或模型。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 例如， 一個 ARMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個 ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當然， 一個 ARMA(p,0,0)過程表示了一個純 AR(p)平穩(wěn)過程；一個 ARMA(0,0,q)表示一個純 MA(q)平穩(wěn)過程。 所謂隨機時間序列模型的識別 ， 就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型 ，即判斷該時間序列是遵循一純 AR過程、還是遵循一純MA過程或 ARMA過程。 所使用的工具 主要是 時間序列的 自相關(guān)函數(shù) （ autocorrelation function， ACF） 及偏自相關(guān)函數(shù) （ partial autocorrelation function， PACF ）。 四、隨機時間序列模型的識別 AR(p)過程 (1)自相關(guān)函數(shù)（ ACF） 1階自回歸模型 AR(1) Xt=?Xt1+ ?t 的 k階滯后 自協(xié)方差 為：?=1,2,…因此， AR(1)模型的 自相關(guān)函數(shù) 為 ?=1,2,… 由 AR(1)的穩(wěn)定性知 |?|1，因此， k??時，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)形衰減，直到零 。這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱 AR(1)有無窮記憶 （ infinite memory）。 注意 ， ?0時， 呈振蕩衰減狀。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t該模型 的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為２階自回歸模型 AR(2) 類似地 ,可寫出 一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： (K=2,3,…)于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù) 為： (K=2,3,…)其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實虛性， 若為實根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 一般地， p階自回歸模型 AR(p) k期滯后協(xié)方差為 : 從而有 自相關(guān)函數(shù) : 可見， 無論 k有多大， ?k的計算均與其１到 p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)， 因此 呈拖尾狀 。 如果 AR(p)是穩(wěn)定的，則 |?k|遞減且趨于零 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知， |zi|1。 因此， 當 1/zi均為實數(shù)根時， ?k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）； 當存在虛數(shù)根時，則一對共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個阻尼正弦波項， ?k呈正弦波衰減。事實上，自相關(guān)函數(shù)是一 p階差分方程 ，其通解為 （ 2）偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF ） 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 例如，在 AR(1)隨機過程中， Xt與 Xt2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關(guān)性帶來的 :即：自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的 “間接 ”相關(guān)。 與之相反， Xt與 Xtk間的 偏自相關(guān)函數(shù) (partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量Xt1， … ， Xtk+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， … ， Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。 從 Xt中去掉
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