20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)411導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1-資料下載頁(yè)
2024-11-16 23:23本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．設(shè)函數(shù)y＝f在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化較_____，其圖像比較_____.上為增(或減)函數(shù)的充分條件．如f＝x3是R上的可導(dǎo)函數(shù)，也是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，但當(dāng)x＝0時(shí)，f′＝0.斷均不正確，故選A.－x在上是減函數(shù)，確定函數(shù)f的定義域；[解析]∵f＝(x－3)ex，3在(0,1]上單調(diào)遞增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，數(shù)的范圍，這是一種非常重要的題型．在某個(gè)區(qū)間上，
【正文】 ( x ＞ 1) ． [方法規(guī)律總結(jié) ] 構(gòu)造函數(shù) ， 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性 ，把證明不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的問(wèn)題 ，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 ． 構(gòu)造法是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中常用到的基本方法 ． 已知： x＞ 0，求證： x＞ sinx. [證明 ] 設(shè) f(x)＝ x－ sinx (x＞ 0)， f ′(x)＝ 1－ cosx≥0對(duì) x∈ (0，＋ ∞)恒成立， ∴ 函數(shù) f(x)＝ x－ sinx在 (0，＋ ∞)上是單調(diào)增函數(shù)， 又 f(0)＝ 0， ∴ f(x)＞ 0對(duì) x∈ (0，＋ ∞)恒成立， ∴ x＞ sinx (x＞ 0). 研究函數(shù)一定要注意函數(shù)的定義域 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ ax － ax － 2 l n x ，且 f ′ ( 2 ) ＝ 0 ，求函數(shù)f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間 ． [ 錯(cuò)解 ] ∵ f ′ ( x ) ＝ a ＋ax2 －2x， ∴ f ′ ( 2 ) ＝ a ＋a4－ 1 ＝ 0 ， ∴ a ＝45. ∴ f ′ ( x ) ＝45＋45 x2 －2x＝25 x2 (2 x2－ 5 x ＋ 2) ， 令 f ′ ( x ) 0 ，得 x 2 或 x 12， 令 f ′ ( x ) 0 ，得12 x 2 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( － ∞ ，12) ， (2 ，＋ ∞ ) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 (12， 2) ． [ 辨析 ] 錯(cuò)解的原因是忽視了函數(shù)的定 義域而導(dǎo)致錯(cuò)誤 . [ 正解 ] 由已知得 x 0 ，故函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ． ∵ f ′ ( x ) ＝ a ＋ax2 －2x， ∴ f ′ ( 2 ) ＝ a ＋a4－ 1 ＝ 0 ， ∴ a ＝45. ∴ f ′ ( x ) ＝45＋45 x2 －2x＝25 x2 (2 x2－ 5 x ＋ 2) ， 令 f ′ ( x ) 0 ，得 0 x 12或 x 2 ， 令 f ′ ( x ) 0 ，得12 x 2 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ，12) ， (2 ，＋ ∞ ) ，單調(diào)遞減區(qū)間為 (12， 2) ．
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