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20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)411導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1-文庫(kù)吧資料

2024-11-24 23:23本頁(yè)面
  

【正文】 ax, m ≤ f ( x ) 恒成立 ? m ≤ f ( x )m in. 已知函數(shù) f(x)= ax3+ 3x2- x+ 1在 (- ∞, + ∞)上是減函數(shù) ,則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ________. [答案 ] a≤- 3 [ 解析 ] f ′ ( x ) = 3 ax2+ 6 x - 1 , 由題意得 3 ax2+ 6 x - 1 ≤ 0 在 ( - ∞ ,+ ∞ ) 上恒成立 . 當(dāng) a = 0 時(shí), 6 x - 1 ≤ 0 , x ≤16不滿足題意, ∴ a ≠ 0. 當(dāng) a ≠ 0 時(shí),由題意得????? a 0Δ = 36 + 12 a ≤ 0, ∴ a ≤ - 3. 綜上可知,實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a ≤ - 3. 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 —— 構(gòu)造法證明不等式 已知 x> 1, 求證: x> lnx. [ 解析 ] 設(shè) f ( x ) = x - ln x ( x > 1) , f ′ ( x ) = 1 -1x=x - 1x, ∵ x > 1 , ∴ f ′ ( x ) =x - 1x> 0 恒成立, ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 (1 ,+ ∞ ) 上是增函數(shù) . 又 f ( 1 ) = 1 - l n 1 = 1 > 0 , 即 f ( x ) > 0 對(duì) x ∈ (1 ,+ ∞ ) 恒成立, ∴ x - ln x > 0 ,即 x > ln x ( x > 1) . [方法規(guī)律總結(jié) ] 構(gòu)造函數(shù) , 利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性 ,把證明不等式的問題轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的問題 ,實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化 . 構(gòu)造法是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)中常用到的基本方法 . 已知: x> 0,求證: x> sinx. [證明 ] 設(shè) f(x)= x- sinx (x> 0), f ′(x)= 1- cosx≥0對(duì) x∈ (0,+ ∞)恒成立, ∴ 函數(shù) f(x)= x- sinx在 (0,+ ∞)上是單調(diào)增函數(shù), 又 f(0)= 0, ∴ f(x)> 0對(duì) x∈ (0,+ ∞)恒成立, ∴ x> sinx (x> 0). 研究函數(shù)一定要注意函數(shù)的定義域 設(shè)函數(shù) f ( x ) = ax - ax - 2 l n x ,且 f ′ ( 2 ) = 0 ,求函數(shù)f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間 . [ 錯(cuò)解 ] ∵ f ′ ( x ) = a +ax2 -2
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