20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學411導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1(參考版)
2024-11-20 23:23本頁面
【正文】 三亞市一中月考 )函數(shù) f(x)＝ (x－ 3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) A． (－ ∞， 2) B． (0,3) C． (1,4) D． (2，＋ ∞) [答案 ] D [解析 ] ∵ f(x)＝ (x－ 3)ex， ∴ f ′(x)＝ ex＋ (x－ 3)ex＝ (x－ 2)ex， 由 f ′(x)0得 x2， ∴ 選 D. 已知函數(shù)的單調(diào)性 ， 確定參數(shù)的取值范圍 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 ax － 1x 2 ， x ∈ ( 0 , 1 ] ． 若 f ( x ) 在 x ∈( 0 , 1 ] 上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍 ． [ 解析 ] 由已知得 f ′ ( x ) ＝ 2 a ＋2x3 ， ∵ f ( x ) 在 ( 0 , 1 ] 上單調(diào)遞增， ∴ f ′ ( x ) ≥ 0 ，即 a ≥ －1x3 在 x ∈ ( 0 , 1 ] 上恒成立 ． 而 g ( x ) ＝－1x3 在 ( 0 , 1 ] 上單調(diào)遞增， ∴ g ( x ) m ax ＝ g ( 1 ) ＝－ 1 ， ∴ a ≥ － 1. ∴ f ( x ) 在 ( 0 , 1 ] 上為增函數(shù)， a 的取值范圍是 [ － 1 ，＋ ∞ ) ． [方法規(guī)律總結(jié) ] ， 而去求參數(shù)的范圍 ， 這是一種非常重要的題型 ． 在某個區(qū)間上 ，f′(x)0(或 f′(x)0)， f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增 (遞減 )；但由 f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增 (遞減 )而僅僅得到 f′(x)0(或 f′(x)0)是不夠的 ， 即還有可能 f′(x)＝ 0也能使得 f(x)在這個區(qū)間上單調(diào) ， 因而已知函數(shù) f(x)在某區(qū)間 A上單調(diào)求參數(shù)的值或取值范圍時 ， 一般轉(zhuǎn)化為在區(qū)間 A上 f ′(x)≥0(f(x)單調(diào)遞增時 )或 f ′(x)≤0(f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時 )恒成立求解 ， 有時也用數(shù)形結(jié)合方法求解 ． 2 ． y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)可導， f ′ ( x ) ≥ 0 或 f ′ ( x ) ≤ 0 且 y ＝ f ( x )在 ( a ， b ) 內(nèi)導數(shù)為 0 的點僅有有限個，則 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)仍是單調(diào)函數(shù)，例如： y ＝ x3在 R 上 f ′ ( x ) ≥ 0 ，所以 y ＝ x3在 R 上單調(diào)遞增 ． 3 ． 本題用到了一個非常重要的轉(zhuǎn)化，即 m ≥ f ( x ) 恒成 立 ? m ≥ f ( x )m
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