20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學32導數(shù)的概念及其幾何意義1(參考版)
2024-11-20 23:24本頁面
【正文】 x x x x 1 ，這時 P0點的坐標為 (1,0) 或 ( － 1 ，－4). 求函數(shù)的導函數(shù) 已知 y ＝ f ( x ) ＝ 2 x ，求 f′ ( x ) 及 f′ ( 1) ． [ 分析 ] 求函數(shù)在某一點處的導數(shù)可先求函數(shù)的導數(shù)，再求此點的導數(shù)值 ． [ 解析 ] ∵ Δy ＝ f ( x ＋ Δx ) － f ( x ) ＝2x ＋ Δx－2x＝2 ? x － x ＋ Δx ?x ＋ Δx x ＋ ? Δx ?2Δx ＝ limΔx → 0 (2 x ＋ Δx ) ＝ 2 x ，又點 A (2,4) 在曲線 y ＝ x2上， ∴ f′ (2) ＝ 4 ， ∴ 所求切線的斜率 k ＝ 4 ， 故所求切線的方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ，即 4 x － y － 4 ＝ 0. (2) ∵ 點 B (3,5) 不在曲線 y ＝ x2上， ∴ 設切點坐標為 ( x0， x20) ， 由 (1) 知 f′ ( x0) ＝ 2 x0， ∴ 切線的斜率 k ＝ 2 x0， 切線方程為 y － x20＝ 2 x0( x － x0) ， 又 ∵ 點 B (3,5) 在切線上， ∴ 5 － x20＝ 2 x0(3 － x0) ， 解得 x0＝ 1 或 x0＝ 5. ∴ 切點坐標為 (1,1) ， (5,25 ) ． 故所求切線方程為 y － 1 ＝ 2( x － 1) 或 y － 25 ＝ 10( x － 5) ， 即 2 x － y － 1 ＝ 0 或 10 x － y － 25 ＝ 0. 求切點坐標 已知曲線 f ( x ) ＝12x2＋ 2 x 的一條切線斜率是 4 ，則切點的橫坐標為 ( ) A ． － 2 B ． － 1 C ． 1 D ． 2 [答案 ] D [方法規(guī)律總結 ] 求切點坐標時 ， 先根據(jù)切線與導數(shù)的關系 ， 求出切線方程 ， 再求切線與曲線的交點 ， 找出切點 ． [ 解析 ] Δy ＝ f ( x ＋ Δx ) － f ( x ) ＝12( x ＋ Δx )2＋ 2( x ＋ Δx ) －12x2－2 x ＝ x ? Δx ?2Δx＝ limΔx → 0[( Δx )2＋ 3 x2＋ 3 x 1 ， ∴ 點 P 的坐標為 (1,1) ， ( － 1 ，－ 1) ． 4 ． 函數(shù) y ＝ f ( x ) ＝ 1x 在 x ＝ 1 處的切線方程為 ________ ． [ 答案 ] x ＋ y － 2 ＝ 0 [ 解析 ] y ′ | x ＝ 1 ＝ f′ (1) ＝ limΔx → 0 f ? 1 ＋ Δx ? － f ? 1 ?Δx ＝ limΔx → 0 11 ＋ Δx－ 1Δx＝ limΔx → 0 － 11 ＋ Δx＝－ 1 ， 則切線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 1) ， 即 x ＋ y － 2 ＝ 0. 課堂典例探究 利用定義求函數(shù)在某點處的導數(shù) 根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù) y ＝ x 2 ＋ 1x ＋ 5 在 x ＝ 2 處的導數(shù) ． [ 解析 ] 當 x ＝ 2 時， Δ y ＝ (2 ＋ Δ x )2＋12 ＋ Δ x＋ 5 －??????22＋12＋ 5＝ 4Δ x ＋ (Δ x )2＋－ Δ x2 ? 2 ＋ Δ x ?，所以Δ yΔ x＝ 4 ＋ Δ x －14 ＋ 2Δ x， 所以 y ′ | x ＝ 2 ＝ limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ limΔ x → 0 ????????4 ＋ Δ x －14 ＋ 2Δ x＝ 4 ＋ 0 －14 ＋ 2 0＝154. [ 方法規(guī)律 總結 ] 用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟為：一差、二比、三極限 ． (1) 求函數(shù)的增量 Δ y
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