20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)412函數(shù)的極值1-資料下載頁
2025-11-07 23:23本頁面
【導(dǎo)讀】§1函數(shù)的單調(diào)性與極值。結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和。充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極。小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.1．如圖是函數(shù)y＝f的圖像，在x＝a鄰近的左側(cè)f單調(diào)。遞_____，f′_____0，右側(cè)f單調(diào)遞_____，f′_____0，形恰好相反，圖形上與a類似的點還有__________，，極_____值；把點b叫作函數(shù)f的極_____值點，f是函數(shù)的一。2．一般地，已知函數(shù)y＝f及其定義域內(nèi)一點x0，對于包。則稱函數(shù)f在點x0處取得________，并把x0稱為函數(shù)f的一個。，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點。2．極值是一個局部性概念，只要在一個小區(qū)域內(nèi)成立即?？桑⒁鈽O值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得，一個函數(shù)在其定。能大于另一點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的。3．若f在(a，b)內(nèi)有極值，那么f在(a，b)內(nèi)絕不是單。－6，令y′>0，得。－6x在，上遞增，在。2．若x＝－2和x＝4是函數(shù)f＝x3＋ax2＋bx的兩個極值
【正文】 x ， ∴ f ′ ( x ) ＝－ 2 ax2－ 2 x ＋ 2 a2x ＋ 2 a ＝－ 2( ax2＋ x － a2x － a ) ＝－ 2( x － a )( ax ＋ 1) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，可得 x ＝－1a或 x ＝ a . 若 a 0 ，當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－1a) －1a ( －1a， a ) a ( a ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ 0 － f ( x ) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 所以 f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－1a) ， ( a ，＋ ∞ ) 內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間( －1a， a ) 內(nèi)為增函數(shù) ． 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝－1a處取得極小值 f ( －1a) ＝－ 1 －13 a2 ，在 x ＝ a 處取得極大值 f ( a ) ＝ a2＋13a4. 若 a 0 ，當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ， a ) a ( a ，－1a) －1a ( －1a，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以 f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ， a ) ， ( －1a，＋ ∞ ) 內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間( a ，－1a) 內(nèi)為減函數(shù) ． 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ a 處取得極大值 f ( a ) ＝ a2＋a43，在 x ＝－1a處取得極小值 f ( －1a) ＝－ 1 －13 a2 . 注意極大值點與極小值點的區(qū)別 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 時有極值0 ，求常數(shù) a 、 b 的值 ． [ 錯解 ] 因為 f ( x ) 在 x ＝－ 1 時有極值 0 ，且 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋6 ax ＋ b . 所以????? f ′ ? － 1 ? ＝ 0f ? － 1 ? ＝ 0，即????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0， 解得????? a ＝ 1b ＝ 3，或????? a ＝ 2b ＝ 9 . [辨析 ] 根據(jù)極值定義 ， 函數(shù)先減后增為極小值 ， 函數(shù)先增后減為極大值 ， 上述解法未驗證 x＝－ 1時函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性 ， 導(dǎo)致錯誤 ． [正解 ] (在上述解法之后繼續(xù) )當(dāng) a＝ 1， b＝ 3時， f ′ (x)＝3x2＋ 6x＋ 3＝ 3(x＋ 1)2≥ 0， 所以 f(x)在 R上為增函數(shù)，無極值，故舍去； 當(dāng) a＝ 2， b＝ 9時， f ′ (x)＝ 3x2＋ 12x＋ 9＝ 3(x＋ 1)(x＋ 3)． 當(dāng) x∈ [－ 3，－ 1]時， f(x)為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ [－ 1，＋ ∞ )時， f(x)為增函數(shù)， 所以 f(x)在 x＝－ 1時取得極小值．因此 a＝ 2， b＝ 9
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1