20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)212橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-資料下載頁(yè)
2024-11-16 23:27本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題._____分別代替___、___，方程不變，∴橢圓。既關(guān)于_____對(duì)稱，又關(guān)于_____對(duì)稱，從而關(guān)于_________. 對(duì)稱，橢圓的對(duì)稱中心叫作橢圓的_____．。x軸y軸坐標(biāo)原點(diǎn)。它的對(duì)稱軸共有四個(gè)交點(diǎn)，即A. 作橢圓的_____，線段A. 叫作橢圓的_____，它的長(zhǎng)等于_____.顯然，橢圓的兩。個(gè)焦點(diǎn)在它的_____上．。4．依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)填寫下表：。直線與橢圓的位置關(guān)系。消去y(或x)得到一個(gè)一元二次方程.位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值。的值，可通過(guò)由曲線方。程與橢圓方程聯(lián)立消去y或x后得到關(guān)于x或y的一元二次方。對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把x換成－x，方程并不改變，這說(shuō)明。當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1也在橢。e越接近1，則c就越接近a，從而b＝a. 恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為(). [解析]依題意橢圓的焦距和短軸長(zhǎng)相等，故b＝c，a2－
【正文】 由????? y ＝ kx ＋ 1 ，x25＋y2m＝ 1 ，消去 y ，得 ( m ＋ 5 k2) x2＋ 10 kx ＋ 5 ( 1－ m ) ＝ 0 ， ∴ Δ ＝ 100 k2－ 20( m ＋ 5 k2)(1 － m ) ＝ 20 m (5 k2＋ m － 1) ． ∵ 直線與橢圓總有公共點(diǎn)， ∴ Δ ≥ 0 對(duì)任意 k ∈ R 都成立 ． ∵ m 0 ， ∴ 5 k2≥ 1 － m 恒成立， ∴ 1 － m ≤ 0 ，即 m ≥ 1. 又橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 0 m 5 ， ∴ 1 ≤ m 5 . [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 1. 研究直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組消元后用判別式討論 ． 2 ． 求直線被橢圓截得弦長(zhǎng)， ( 一 ) 是求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公 式； ( 二 ) 是用 | AB |＝ 1 ＋ k2| x1－ x2|＝ 1 ＋1k2 | y 1 － y 2 |，其中 k 為直線 AB 的斜率， A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ． 3 ． 有關(guān)直線與橢圓相交弦長(zhǎng)最值問(wèn)題，要特別注意判別式的限制 ． ( 2 0 1 4 河北衡水中學(xué)二調(diào) ) 已知橢圓 C 的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，左右焦點(diǎn)分別為 F1和 F2，且 | F1F2|＝ 2 ，點(diǎn)(1 ，32) 在該橢圓上 ． ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 過(guò) F1的直 線 l 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，若 △ AF2B的面積為12 27，求以 F2為圓心且與直線 l 相切圓的方程 ． [ 答案 ] ( 1 ) x24 ＋y 23 ＝ 1 ( 2 ) ( x － 1)2 ＋ y 2 ＝ 2 [ 解析 ] ( 1 ) 橢圓 C 的方程為x24＋y23＝ 1. ( 2 ) ① 當(dāng)直線 l ⊥ x 軸時(shí)，可得 A ( － 1 ，－32) ， B ( － 1 ，32) ， △AF2B 的面積為 3 ，不符合題意 ． ② 當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 l 的方程 為 y ＝ k ( x ＋1) ． 代入橢圓方程得： (3 ＋ 4 k2) x2＋ 8 k2x ＋ 4 k2－ 12 ＝ 0 ，顯然 Δ 0 成立，設(shè) A ( x1，y1) ， B ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝－8 k23 ＋ 4 k2， x1 x2＝4 k2－ 123 ＋ 4 k2，可得 | AB |＝12 ? k2＋ 1 ?3 ＋ 4 k2 又圓 F2的半徑 r ＝2| k |1 ＋ k2， ∴△ AF2B 的面積＝12| AB | r ＝12| k | k2＋ 13 ＋ 4 k2＝12 27，化簡(jiǎn)得：17 k4＋ k2－ 18 ＝ 0 ，得 k ＝ 177。1 ， ∴ r ＝ 2 ，圓的方程為 ( x － 1)2＋y2＝ 2. 忽視焦點(diǎn)位置致誤 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率 e ＝32，且過(guò)點(diǎn) P ( 2 , 3 ) ，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． [ 錯(cuò)解 ] 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ， 由題意知??????? ca＝324a2 ＋9b2 ＝ 1a2＝ b2＋ c2，解得 b2＝ 10 ， a2＝ 4 0 . 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x240＋y210＝ 1. [ 辨析 ] 上述解法沒(méi)有討論焦點(diǎn)的位置，而默認(rèn)了橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上 ． [ 正解 ] ( 1 ) 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，解法同上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x240＋y210＝ 1. ( 2 ) 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，由題意得??????? ca＝329a2 ＋4b2 ＝ 1c2＝ a2－ b2，解得 b2＝254， a2＝ 25 ，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y225＋4 x225＝ 1. 綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x240＋y210＝ 1 或y225＋4 x225＝ 1. 分析下題的解答過(guò)程看有無(wú)錯(cuò)誤，若有錯(cuò)誤請(qǐng)訂正 ． 橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)的和為 20 ，焦距為4 10 ，求該橢圓的方程 ． 解：設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，由題意得 a ＋ b ＝ 20 ，c ＝ 2 10 ，又 a2＝ b2＋ c2， ∴ a ＝ 11 ， b ＝ 9. 故所求橢圓方程為x21 2 1＋y281＝ 1. [ 答案 ] 解答有錯(cuò)誤 橢圓方程為 x249 ＋y 29 ＝ 1 [ 解析 ] 上述解答有錯(cuò)誤 ． 誤把長(zhǎng)半軸長(zhǎng) a ，短半軸長(zhǎng) b ，與長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)混淆，正確解答如下： 設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ， 由題意得 2 a ＋ 2 b ＝ 20 ， c ＝ 2 10 ，又 a2＝ b2＋ c2， ∴ a ＝ 7 ， b ＝ 3 ，故所求橢圓方程為x249＋y29＝ 1.
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