20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)222拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)1-資料下載頁(yè)
2024-11-16 23:25本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】2．會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題.離的比，叫作拋物線的離心率，拋物線的離心率為1.和右下方無(wú)限延伸，p值越大，它開(kāi)口________.A、B，AB的中點(diǎn)M，拋物線的準(zhǔn)線為l.以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切；)＝x1＋x2＋p；[解析]∵拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，∴x1＋x2＝12，弦長(zhǎng)＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.＝6，∴2p＝24，又∵對(duì)稱軸為x軸，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為8，則p＝______.∴3p＋p＝8，∴p＝2.將M代入拋物線方程，得y＝±6.
【正文】 － 1,0) ， 所以 kGA＝2 2 － 02 － ? － 1 ?＝2 23， kGB＝－ 2 － 012－ ? － 1 ?＝－2 23， 所以 kGA＋ kGB＝ 0 ，從而 ∠ AGF ＝ ∠ BGF ，這表明點(diǎn) F 到直線 GA ， GB 的距離相等，故以 F 為圓心且與直線 GA 相切的圓必與直線 GB 相切 ． 法二： (1) 同法一 ． (2) 設(shè)以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切的圓的半徑為 r . 因?yàn)辄c(diǎn) A (2 ， m ) 在拋物線 E ： y2＝ 4 x 上， 所以 m ＝ 177。2 2 ，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè) A (2,2 2 ) ． 由 A (2,2 2 ) ， F (1,0) 可得直線 AF 的方程為 y ＝ 2 2 ( x － 1) ． 由????? y ＝ 2 2 ? x － 1 ? ，y2＝ 4 x ，得 2 x2－ 5 x ＋ 2 ＝ 0. 解得 x ＝ 2 或 x ＝12，從而 B??????12，－ 2 . 又 G ( － 1,0) ，故直線 GA 的方程為 2 2 x － 3 y ＋ 2 2 ＝ 0 ， 從而 r ＝|2 2 ＋ 2 2 |8 ＋ 9＝4 217 . 又直線 G B 的方程為 2 2 x ＋ 3 y ＋ 2 2 ＝ 0 ， 所以點(diǎn) F 到直線 GB 的距離 d ＝|2 2 ＋ 2 2 |8 ＋ 9＝4 217＝ r . 這表明以點(diǎn) F 為圓心且與直線 GA 相切的圓必與直線 GB相切 ． 考慮問(wèn)題要全面 求過(guò)點(diǎn) P (0,1) 且與拋物線 y 2 ＝ 2 x 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程 ． [ 錯(cuò)解 ] 設(shè)直線 方程為 y ＝ kx ＋ 1 ， 由方程組????? y ＝ kx ＋ 1y2＝ 2 x，消去 y ，得 k2x2＋ 2( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0. 由直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 Δ ＝ 4( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ，所以 k ＝12，所以所求直線的方程為 y ＝12x ＋ 1. [辨析 ] 本題造成錯(cuò)解的原因有兩個(gè)：一是遺漏了直線不存在斜率的情況 ， 只考慮了斜率存在的直線；二是方程組消元后的方程認(rèn)定為二次方程 ， 事實(shí)上 ， 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零的一次方程的解也符合題意 ． [ 正 解 ] (1) 若直線斜率不存在，則過(guò)點(diǎn) P (0,1) 的直線方程為 x ＝ 0 ，由????? x ＝ 0y2＝ 2 x，得????? x ＝ 0y ＝ 0 . 即直線 x ＝ 0 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) ． (2) 若直線的斜率存在，設(shè)為 k ，則過(guò)點(diǎn) P (0,1) 的直線方程為y ＝ kx ＋ 1 ，由方程組????? y ＝ kx ＋ 1y2＝ 2 x，消去 y 得 k2x2＋ 2( k － 1) x ＋ 1＝ 0. 當(dāng) k ＝ 0 時(shí)，得????? x ＝12y ＝ 1 . 即直線 y ＝ 1 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng) k ≠ 0 時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 Δ ＝ 4( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ，所以 k ＝12，直線方程為 y ＝12x ＋ 1. 綜上所述，所求直線方程為 x ＝ 0 或 y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1. 分析指出下題解答中的錯(cuò)誤，并訂正 ． 設(shè)拋物線 y ＝ mx2( m ≠ 0) 的準(zhǔn)線與直 線 y ＝ 1 的距離為 3 ，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ________ ． 解：由 y ＝ mx2( m ≠ 0) 可得其準(zhǔn)線方程為 y ＝－m4. 由題意知－m4＝－ 2 ，解得 m ＝ 8 ， 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y ＝ 8 x2. [ 答案 ] 錯(cuò)誤略，拋物線方程為 x 2 ＝ 8 y 或 x 2 ＝－ 16 y [ 解析 ] 上述解答過(guò)程有兩處錯(cuò)誤，一是不能正確理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，錯(cuò)誤地將所給方程看作是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到準(zhǔn)線方程為 y ＝－m4；二是得到準(zhǔn)線方程后，只分析其中的一種情況，而忽略了另一種情況，只得 到一個(gè)解 ． 正確解答如下： y ＝ mx2( m ≠ 0) 可化為 x2＝1my ，其準(zhǔn)線方程為 y ＝－14 m. 由題意知－14 m＝－ 2 或－14 m＝ 4 ，解得 m ＝18或 m ＝－116， 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝ 8 y 或 x2＝－ 16 y .
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