20xx北師大版選修1-1高中數學232雙曲線的簡單性質練習題-資料下載頁
2024-11-28 19:11本頁面
【導讀】[解析]由已知c2＝a2－b2＝64－16＝48，故雙曲線中c2＝48，且焦點在y軸上，ab＝1，a＝c2＝a2＋b2可得a2＝b2＝24，故選D.[解析]設雙曲線焦點在x軸上，則tanθ＝ba＝33，e＝ba2＋1＝13＋1＝233.b2＝0，＝0，即y＝±4．雙曲線x2－y2＝4左支上一點P(a，b)到直線y＝x的距離?！唠p曲線左支在直線y＝x上方，由題意得b2＝2，∴F1，F2(2,0)，∴c2＝a2＋b2＝5，4，解得λ＝5，由題設知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.[解析]設F1(c,0)，由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，由雙曲線的定義得22c－2c＝2a.b2＝1的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正△MF1F2，[解析]設線段MF1的中點為P，由已知△F1PF2為有一銳角為60°的直角三角形，∴|PF1|、|PF2|的長度分別為c和3c.∴e＝23－1＝3＋1.在△F1PF2中，由余弦定理得，
【正文】 又 a2＋ b2＝ c2，由 ①② 得 a2＝ 1， b2＝ 14. 若雙曲線的實軸在 y軸上，設 y2a2－x2b2＝ 1為所求． 同理有 c2a2＝54，2a2－9b2＝ 1， a2＋ b2＝ c2. 解之，得 b2＝－ 172 (不符，舍去 )． 故所求雙曲線方程為 x2－ 4y2＝ 1. (2)設雙曲線方程為 x2a2－y2b2＝ 1，因 |F1F2|＝ 2c， 而 e＝ ca＝ 2，由雙曲線的定義， 得 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a＝ c. 由余弦定理，得 (2c)2＝ |PF1|2＋ |PF2|2－ 2|PF1||PF2|cos∠ F1PF2 ＝ (|PF1|－ |PF2|)2＋ 2|PF1||PF2|(1－ cos60176。) ， ∴ 4c2＝ c2＋ |PF1||PF2|. 又 S△ PF1F2＝ 12|PF1||PF2|sin60176。 ＝ 12 3， ∴ |PF1||PF2|＝ 48. ∴ 3c2＝ 48， c2＝ 16，得 a2＝ 4， b2＝ 12. 故所求雙曲線的方程為 x24－y212＝ 1. 8．設雙曲線 C： x2a2－ y2＝ 1(a0)與直線 l： x＋ y＝ 1相交于兩個不同的點 A， B. (1)求雙曲線 C的離心率 e的取值范圍； (2)設直線 l與 y軸的交點為 P，且 PA→ ＝ 512PB→ ，求 a的值． [答案 ] (1)??? ???62 ， 2 ∪ ( 2，＋ ∞) (2)1713 [解析 ] (1)由 C 和 l 相交于兩個不同的點，知方程組????? x2a2－ y2＝ 1x＋ y＝ 1有兩個不同的實 數解．消去 y并整理得 (1－ a2)x2＋ 2a2x－ 2a2＝ 0.① 所以????? 1－ a2≠04a4＋ 8a2 1－ a2 0 ， 解得 0a 2且 a≠1. 雙曲線的離心率 e＝ 1＋ a2a ＝1a2＋ 1. ∵ 0a 2且 a≠1 ， ∴ e 62 且 e≠ 2， 即離心率 e的取值范圍為 ??? ???62 ， 2 ∪ ( 2，＋ ∞) ． (2)設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(0,1)． ∵ PA→ ＝ 512PB→ ， ∴ (x1， y1－ 1)＝ 512(x2， y2－ 1)． 由此得 x1＝ 512x2. 由于 x1， x2都是方程 ① 的根，且 1－ a2≠0 ， ∴ 1712x2＝－ 2a21－ a2，512x22＝－2a21－ a2. 消去 x2，得－ 2a21－ a2＝28960 .又 ∵ a0， ∴ a＝1713.
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