20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)32導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1-資料下載頁(yè)
【導(dǎo)讀】，了解導(dǎo)函數(shù)的概念，通過函數(shù)。圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．。2．會(huì)求導(dǎo)函數(shù)，能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處。函數(shù)y＝f在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是lim. 的直線PT，則這一確定的直線PT稱為曲線y＝f在點(diǎn)P的。的___________，即k＝f′(x. )是一個(gè)確定的數(shù)．當(dāng)。x變化時(shí)，f′便是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f. 切線的斜率limΔx→0. 表示函數(shù)y關(guān)于自變量x在x0處的導(dǎo)數(shù)．。處的導(dǎo)數(shù)，在自然科學(xué)及科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，只要遇到有關(guān)函數(shù)。變化率的問題，如化學(xué)反應(yīng)速度、物體溫度變化率、電流強(qiáng)度。等等都需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)．。導(dǎo)數(shù)是研究在點(diǎn)x0處及其附近函數(shù)的改變量Δy與自變。“導(dǎo)數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系。一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′．根據(jù)函數(shù)的。定義，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，就是函數(shù)f. x0處的________，即f′＝______________.函數(shù)值f′|x＝x0. 2．曲線y＝x2在點(diǎn)P(1,1)處的切
【正文】 x → 0 － 2x ＋ Δx x ? x ＋ x ＋ Δx ? ＝－ 2x x 2 x＝－ x －32. ∴ f′ (1) ＝－ x －32|x ＝ 1＝－ 1. [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在 x ＝ x0處的函數(shù)值 ． 2 ． 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)共三個(gè)步驟： ① 求函數(shù)的增量 Δx ＝ f ( x ＋ Δx )－ f ( x ) ； ② 求平均變化率ΔyΔx＝f ? x ＋ Δx ? － f ? x ?Δx； ③ 取極限并求極限值，取導(dǎo)數(shù) f′ ( x ) ＝ limΔx → 0 f ? x ＋ Δx ? － f ? x ?Δx. 已知曲線 y＝ 3x2－ x， 求曲線上一點(diǎn) A(1,2)處的切線斜率 ． [ 解析 ] y ′ ＝ limΔx → 0 f ? x ＋ Δx ? － f ? x ?Δx ＝ limΔx → 0 3 ? x ＋ Δx ?2－ ? x ＋ Δx ? － 3 x2＋ xΔx＝ 6 x － 1. ∴ y ′ | x ＝ 1 ＝ 6 1 － 1 ＝ 5. 審題要細(xì)致 試求過點(diǎn) M (1,1) 且與曲線 y ＝ x 3 ＋ 1 相切的直線方程 ． [ 錯(cuò)解 ] Δ yΔ x＝? x ＋ Δ x ?3＋ 1 － x3－ 1Δ x ＝3 x ? Δ x ?2＋ 3 x2Δ x ＋ ? Δ x ?3Δ x＝ 3 x Δ x ＋ 3 x2＋ (Δ x )2. limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ 3 x2，因此 y ′ ＝ 3 x2，所以在 x ＝ 1 處的切線斜率 k＝ 3 ，切線方程為 y － 1 ＝ 3( x － 1) ，即 3 x － y － 2 ＝ 0. [辨析 ] 上述解法錯(cuò)在將點(diǎn) (1,1)當(dāng)成了曲線 y＝ x3＋ 1上的點(diǎn) ． 因此在求過某點(diǎn)的切線時(shí) ， 一定要先判斷點(diǎn)是否在曲線上 ， 再據(jù)不同情況求解 ． [ 正解 ] y ′ ＝ 3 x2( 解法同上 ) ，設(shè)過 (1,1 ) 點(diǎn)的切線與 y ＝ x3＋ 1 相切于點(diǎn) P ( x0， x30＋ 1) ，據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn) P 處的切線的斜率為 k ＝ 3 x20 ① ，過 (1,1) 點(diǎn)的切線的斜率 k ＝x30＋ 1 － 1x0－ 1 ② ， ∴ 3 x20＝x30x0－ 1，解得 x0＝ 0 或 x0＝32，所以 k ＝ 0或 k ＝274，因此 y ＝ x3＋ 1 過點(diǎn) M (1, 1) 的切線方程有兩個(gè)，分別為 y － 1 ＝274( x － 1) 和 y ＝ 1 ，即 27 x － 4 y － 23 ＝ 0 或 y ＝ 1. 分析指出下題解答中的錯(cuò)誤，并加以糾正 ． 設(shè) f ( x ) 在 x0處可導(dǎo)，求 limΔ x → 0 f ? x0－ Δ x ? － f ? x0?Δ x的值 ． 解： ∵ Δ x → 0 ， ∴ － Δ x → 0 ， 又 ∵ f ( x ) 在 x0處可導(dǎo)， ∴ limΔ x → 0 f ? x0－ Δ x ? － f ? x0?Δ x＝ f ′ ( x0) ． [ 解析 ] 上述解答由于對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不清致誤，函數(shù)值 f ( x0－ Δ x ) － f ( x0) 所對(duì)應(yīng)的自變量的改變量為 ( x0－ Δ x ) － x0＝－Δ x . 正確解答為： ∵ f ( x ) 在 x0可導(dǎo)， ∴ limΔ x → 0 f ? x0－ Δ x ? － f ? x0?Δ x ＝－ lim－ Δ x → 0 f ? x0－ Δ x ? － f ? x0?－ Δ x ＝－ f ′ ( x0) ．
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