【正文】 ? ????????????aaFaXPaXP1)(1)(1)( 96 信息管理學(xué)院 徐曄 22()21( ) ( ) d2txXP x P X x e t????? ??? ???????? ? ? ? ? ? ?命題：若 ，則 2~ ( , )XN ??~ ( 0 , 1 )X N???證明： 作變量代換 ，得到 ???? tu22()21( ) ( ) d2txXP x P X x e t????? ??? ???????? ? ? ? ? ? ?221 d2uxeu????? ? 。由此知： ~ ( 0 , 1 )X N???（ 2）一般正態(tài)隨機(jī)變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量之間的 關(guān)系 97 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 ，求設(shè)隨機(jī)變量 ),(~ 2??NX}|{|)1( ?? ??XP}2|{|)2( ?? ??XP}1|(| ??? ? ?XP}2|(| ??? ? ?XP1)1(2 ?? ?1)2(2 ?? ?= 2*= = 2*= }3|{|)3( ?? ??XP}3|(| ??? ? ?XP 1)3(2 ?? ? = 2*= 事件的發(fā)生幾乎是必然的 原則為是一個小概率事件，稱事件 39。339。}3|{| ??? ??X1)(2}|{|),1,0(~ ??? xxXPNX ? 98 信息管理學(xué)院 徐曄 服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間 內(nèi)的概率為 ，落在該區(qū)間外的概率只有 說 ,X幾乎不可能在區(qū)間 之外取值。 ),( 2??N)3,3( ???? ??原則：?3)3,3( ???? ??由 3? 原則知 ， 1)(3,0)(3 ????? bbaa ?? 時時 100 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 從某地去火車站有兩條路線 ,第一條路線經(jīng)過市區(qū) ,路程較短 ,但交通擁擠，所需時間 (分鐘 )服從正態(tài)分布N(50,100),第二條路線經(jīng)環(huán)城路，路程較長 ,所需時間服從正態(tài)分布 N(60,16),若只有 70分鐘可用 ,應(yīng)走哪一條路線 ?若只有 65分鐘呢 ? 解 設(shè)所需時間分別為 T和 X,顯然應(yīng)走在允許的時間內(nèi)有較大概率及時趕到火車站的路線 . (1) 在 70分鐘內(nèi) ,兩條路線能及時趕到的概率分別為 }70{ ?TP )105070( ?? ? 9 7 7 )2( ?? ?}70{ ?XP )46070( ?? ? 9 9 3 )( ?? ?因此在這種情況下，應(yīng)走第二條路線 . ?????? ?? ? ???? xxFNX )(),(~ 2 101 信息管理學(xué)院 徐曄 (2) 在 65分鐘內(nèi) ,兩條路線能及時趕到的概率分別為 }65{ ?TP )105065( ??? 9 3 3 )( ???}65{ ?XP )46065( ??? )( ???因此在這種情況下，應(yīng)走第一條路線 . 102 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P68 練習(xí) 2 3 4 信息管理學(xué)院 徐曄 隨機(jī)變量函數(shù)及其分布 一、隨機(jī)變量函數(shù)的定義 二、 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 104 信息管理學(xué)院 徐曄 實(shí)例 兩個賭徒用一枚骰子進(jìn)行賭博 ,甲若擲出 x點(diǎn) ,則可得 (或付 )10x35元 ,分析甲在一次擲骰子中的輸贏 . 為輸贏的錢數(shù)為擲出的骰子點(diǎn)數(shù)，假設(shè) YX3510 ?? XY顯然 為離散型隨機(jī)變量X顯然也是隨機(jī)變量Y 的分布如何？Y的函數(shù)是 XY 105 信息管理學(xué)院 徐曄 一 、隨機(jī)變量函數(shù)的定義 分別就離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行討論 問題 ?)( 的分布分布求得隨機(jī)變量的量如何根據(jù)已知的隨機(jī)變XgYX?()gx R X ?? ?: ( ) ( )Y Y g X???Y X ()Y g X?定義：設(shè) 是 上的實(shí)值函數(shù)， 是 上的隨機(jī)變量，在 上定義隨機(jī)變量 ，稱 為隨機(jī)變量 的函數(shù)，記作 106 信息管理學(xué)院 徐曄 Y 的可能值為 。2,1,0,)1( 2222?即 0, 1, 4. 解 }0{}0{}0{ 2 ????? XPXPYP ,41?.2的分布律求的分布律為設(shè)XYX?Xp2101?41414141例 1 二、 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 107 信息管理學(xué)院 徐曄 )}1()1{(}1{}1{ 2 ??????? XXPXPYP ?}1{}1{ ????? XPXP ,214141 ???}2{}4{}4{ 2 ????? XPXPYP ,41? 故 Y 的分布律為 Yp410412141由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法 . 108 信息管理學(xué)院 徐曄 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 的分布律為若也是離散型隨機(jī)變量其函數(shù)是離散型隨機(jī)變量如果XXgYX.)(, ?Xkp?? kxxx 21?? kppp 21的分布律為則 )( XgY ?kp)( XgY ??? kppp 21?? )()()( 21 kxgxgxg.,)( 合并應(yīng)將相應(yīng)的中有值相同的若 kk pxg 109 信息管理學(xué)院 徐曄 Y 的分布律為 Yp4? 1?2121Xkp211?616263例 2 設(shè) .52 的分布律求 ?? XY解 110 信息管理學(xué)院 徐曄 第一步 先求 Y=2X+8 的分布函數(shù) ).( yFY}{)( yYPyF Y ?? }82{ yXP ???解 .82.,0,40,8)(的概率密度求隨機(jī)變量其他的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量??????????XYxxxfXX例 3 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 xxfyX d)(28? ???? }28{ ??? yXP解例 111 信息管理學(xué)院 徐曄 )()( yFyf yY ?? ,)2 8)(2 8( ???? yyf X第二步 由分布函數(shù)求概率密度 . ]d)([ 28 ?? ??? xxfyX????? ??????.,0,4280,21)28(81)(其他所以yyyf Y????? ????.,0,168,328其他yy????? ???.,0,40,8)(其他xxxf X 112 信息管理學(xué)院 徐曄 }{)( yYPyF Y ?? }{ 2 yXP ?? }{ yXyP ????)()( yFyF XX ???.32.0,e,0,0)(232的概率密度和求隨機(jī)變量的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量??????????XYXYxxxxfXxX解 ,2 分布函數(shù)先求隨機(jī)變量 XY ?例 4 .d)(d)( xxfxxf y Xy X ?? ????? ??再由分布函數(shù)求概率密度 . )()( yFyf YY ?? ????? ))(())(( yyfyyf XX 113 信息管理學(xué)院 徐曄 )()( yFyf YY ?? ????? ))(())(( yyfyyf XXyyyy210e)(21 2)(3 ????? ??????????.0,0,0,2eyyy y.d)(d)()( xxfxxfyF y Xy XY ?? ????? ?? 114 信息管理學(xué)院 徐曄 當(dāng) Y=2X+3 時 ,有 ???????????.3,0,3,e)23(21)(2)23(3yyyyfyY.函數(shù)的概率密度的方法的出計算連續(xù)型隨機(jī)變量　　由上述例題可歸納 115 信息管理學(xué)院 徐曄 .)()() ) ,(),(ma x () ) ,(),(mi n (的反函數(shù)是其中xgyhggβggα ????????????? ???????????????.,0,)()]([)(,)(,)0)((0)(,)(,),(其他其概率密度為隨機(jī)變量是連續(xù)型則稱或恒有且恒有處處可導(dǎo)又設(shè)函數(shù)其中的具有概率密度　　定理　設(shè)隨機(jī)變量βyαyhyhfyfXgYxgxgxgxxfXXYX 116 信息管理學(xué)院 徐曄 證明 X 的概率密度為 .,eπ2 1)( 222)(?????????xσxf σμxX,)( baxxgy ???設(shè),)( a byyhx ???得 .01)( ??? ayh知.)0(,),(~ 2也服從正態(tài)分布性函數(shù)的線試證明設(shè)隨機(jī)變量??? abaXYXσμN(yùn)X例 5 117 信息管理學(xué)院 徐曄 222)(eπ211 σμabyσa????.,eπ21 22)(2)]([?????????yσaa σa μby.),(1)( ??????? ya byfayf XY的概率密度為得其它由公式baXYyyhyhfyf XY????? ????.,0,)()]([)(??))(,(~ 2a σba μN(yùn)baXY???得 118 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P71練習(xí) 1 2 P72習(xí)題二