概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1)-資料下載頁(yè)
2025-04-29 12:04本頁(yè)面
【正文】 內(nèi)挑選 ,使 似然 函數(shù) L(x1,x2,…, xn 。 ? )達(dá)到最大的 參數(shù)值 ,作為參數(shù) ? 估計(jì)值 . 即取 使 ?? ???????????? ?????? ,)。()。,()(121niin xfxxxLL ?例 、 設(shè)某種電子元件的壽命服從指數(shù)分布，其分布密度為 今測(cè)得 n個(gè)元件的壽命為 ，試求 ? 的最大似然估計(jì)值 解 :似然函數(shù)為 ?????? ?0 ,00,)。(xxexf x當(dāng)當(dāng)???nxxx , 21 ?)(121 ni xxxnnix eeL ?????? ?? ? ??? ??74 取對(duì)數(shù)得 ， 由此得的 ?最大似然估計(jì)值為 ， 對(duì) ?求導(dǎo)得對(duì)數(shù)似然方程 ， ????niixnL1lnln ??????niixndLd1ln??xxnnii1?1?????例 1610. 75 設(shè) 總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f(x 。?1 , ?2 ,…, ?m),或 X為離散型隨機(jī)變量 ,其分布律 為 P{X=x}=p(x 。?1 , ?2 ,…, ?m), 其中 ?1 , ?2 ,…, ?m 是待估參數(shù) . X1,X2,…,X n是來(lái)自 X的一個(gè) 樣本 . 一、 矩估計(jì)法 又設(shè) 總體 X的前 m階矩存在 .一般來(lái)說(shuō) ,它們是 ?1 , ?2 ,…, ?m的函數(shù) .基于 樣本 (原點(diǎn) )矩 依概率收斂 于相應(yīng)的總體 (原點(diǎn) )矩 。 樣本 (原點(diǎn) )矩的連續(xù)函數(shù) 依概率收斂 于相應(yīng)的 總體 (原點(diǎn) )矩的連續(xù)函數(shù) ,我們就用 樣本 (原點(diǎn) )矩 作為 總體 (原點(diǎn) )矩 的 估計(jì)量 。樣本 (原點(diǎn) )矩的連續(xù)函數(shù) 作為相應(yīng) 總體 (原點(diǎn) )矩連續(xù)函數(shù) (包括了中心矩 )的 估計(jì)量 .這種估計(jì)方法稱為 矩估計(jì)法 . 76 具體作法 : 1. 確定離散分布律或連續(xù)密度含有的未知參數(shù)之 個(gè)數(shù) m,即未知參數(shù)為 ?1,…, ?m 。 一些 m個(gè) k階矩 ?k=E(Xk)= ?k(?1,…, ?m) 。 列出 m個(gè)聯(lián)立方程 ?k(?1,…, ?m) = Ak 。 4. 求解得出 m個(gè) . .?? })( { A kii ?? ?77 1： 設(shè) 總體 X為 離散型 隨機(jī)變量 ,其分布律為 P{X=x} =p(x 。?), 其中 ? ? ?的形式為已知 , ?是待估參數(shù) , ?是 ?的可能取值范圍 . X1,X2,…,X n是來(lái)自 X的一個(gè) 樣本 . x1,x2,…, xn為相應(yīng)的 樣本值 . 則 X1,X2,…,X n的聯(lián)合分布律為 二、 極大似然估計(jì)法 ???? ?????? ,)。()。,()(121niin xpxxxLL ?L(? )是 ? 的函數(shù) , 稱為樣本的 似然 函數(shù) . 78 2： 設(shè) 總體 X為 連續(xù)型 隨機(jī)變量 ,其密度函數(shù)為 f(x 。?), 其中 ? ? ?的形式為已知 , ?是待估參數(shù) , ?是 ?的可能取值范圍 . X1,X2,…,X n是來(lái)自 X的一個(gè) 樣本 .則 X1,X2,…,X n的聯(lián)合密度為 x1,x2,…, xn為相應(yīng)的 樣本值 . 它被 稱為 樣本 似然 函數(shù) . ???? ?????? ,)。()。,()(121niin xfxxxLL ?79 這樣得到的 與樣本值 x1,x2,…, xn有關(guān) ,常記為 (x1,x2,…, xn) ,稱 為參數(shù) ? 的 極大似然估計(jì)值 . 統(tǒng)計(jì)量 (X1,X2,…,X n)稱 為參數(shù) ? 的 極大似然估計(jì)量 . )。,(m a x)?。,( 2121 ??? nnxxxLxxxL ????? 極大似然估計(jì)法 , 就是固定 樣本的觀察值 x1,x2,…, xn ,在 ? 取值的 范圍 ? 內(nèi)挑選 使 概率 L(x1,x2,…, xn 。 ? ) 達(dá)到最大的參數(shù) 值 ,作為參數(shù) ? 估計(jì)值 . 即取 使 ?? ????????80 具體作法 : 1. 根據(jù)離散分布律或連續(xù)密度寫(xiě)出似然 函數(shù) L(x1,x2,…, xn 。 ? ) 。 使 似然 函數(shù) L(x1,x2,…, xn 。 ? ) 達(dá)到最大的參數(shù)值 ,作為參數(shù) ? 估計(jì)值 . ?? 對(duì)似然函數(shù) 取對(duì)數(shù) ，或做其它 變換 . 81 (十五 )結(jié)束 作業(yè) : 習(xí)題七的 5， 6， 7 82 5 1 ．設(shè)總體 X 服從指數(shù)分布，它的分布密度為 ???????0,00,)(xxxxfx?? 其中 0?? ，試用矩法求 ? 的估計(jì)量。 83 6 2 ．設(shè)總體 X 服從幾何分布，它的分布律為 ? ? ?,2,1,)1(1?????kppkXPk 先用矩法求 p 的估計(jì)量。再求 p 的最大似然估計(jì)。 84 7 3 ．設(shè)總體 X 服從 [a , b] 上的均勻分布，其分布密度為 ?????????其它,0,1)(bxaabxf ，其中 0?? 。 其中 a,b 是未知數(shù)，試用矩法求 a,b 的 估計(jì) 量 。 85 例 某炸藥制造廠 ,在一天中發(fā)生 著火現(xiàn)象 的次數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量 .設(shè)它服從參數(shù) ? 0的泊松分布 .現(xiàn)用如下的樣本值 ,來(lái)估計(jì)參數(shù) ? . 解 : 由于 X~ ?(?),故有 ?=E(X).我們自然想到用樣本的均值來(lái)估計(jì)總體的均值 . K 0 1 2 3 4 5 6 n k 75 90 54 22 6 2 1 2 5 0計(jì)算得 于是 E(X) = ? 的估計(jì)為 。 ?? ??kknknx例 1611. 86 例 X1, X2,…,X n是來(lái)自 正態(tài)分布 X~ N (?, ?2) 的 一個(gè) 樣本 .用 樣本矩 來(lái) 估計(jì) ?, ?2 的值。 ??)( XE222 )()]([)( ???? XDXEXE??????????????????????niiniinii)XX(nXXnAA?XnXA?12122212211111??得 : 解 :已知 例 1612. 87 例 X在 (a, b)上均勻分布 . a, b則未知 , X1, X2,…,X n是一個(gè) 樣本 . 求 a, b 的 極大似然估計(jì)量 。 ), . . . ,m in ( 1)1( nxxx ?解 :記 等價(jià)于 )., . . . ,m a x ( 1)( nn xxx ?似然函數(shù)為 .,0)(1),()()1(其它bxxaabbaLnn?????????,. . . ,1 bxxa n ?? ., )()1( bxxa n ??例 1613. 88 對(duì)于任意的 a, b有 nnn xxabbaL )(1)(1),()1()( ????解 得 極大似然估計(jì)值 為 極大似然估計(jì)量 為 ),(m i n?1)1( inixxa???? ),(m a x?1)( ininxxb????),(m i n?1)1( iniXXa???? ),(m a x?1)( ininXXb???? 再見(jiàn) 89 99928 ’ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ！ ￥ %…… —*（） ——+|{}“：？ 〉《》《 ！ ＃￥％ …… —＊（） ——＋、＝－０‵‵ 。，／‘；；／＊－＋。 ‵
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