【正文】 ????? aaa ??? aa解得 (舍去 ) 33 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P47練習(xí) 2 P51練習(xí) 1 2 信息管理學(xué)院 徐曄 幾種常見的離散型分布 一、兩點分布 二、 二項分布 三、 泊松 (Poisson)分布 四、超幾何分布 * 35 信息管理學(xué)院 徐曄 定義 若一個隨機變量 X 只有兩個可能的取值 , 其分布為 ),10( ?? p且 ,1}{ 2 pxXP ???,}{ 1 pxXP ??特別地 , 點分布 , 即 參數(shù)為 p 的兩 則稱 X 服從 21, xx 處 p 的 兩點分布 . 參數(shù)為 若 X 服從 0,1 21 ?? xx 處 Xip0 1p?1 p則稱 X 服從參數(shù)為 p 的 10? 分布 . 一、兩點分布 36 信息管理學(xué)院 徐曄 兩點分布是最簡單的一種分布 ,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象 , 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等 , 都屬于兩點分布 . 說明 37 信息管理學(xué)院 徐曄 ??????HeTeX,1,0例 1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ,有兩種可能的結(jié)果：H表示正面朝上， T表示背面朝上，引入變量 X，令 pi=P{ X=i }= ( i = 0, 1 ) X 0 1 p X的概率分布表： 概率分布為 38 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 200 件產(chǎn)品中 , 有 196 件是正品 , 則 ,0,1????取到次品取到正品XX 服從參數(shù)為 的兩點分布 . 于是 , 4 件是次品 , 今從中隨機地抽取一件 , 若規(guī)定 }1{ ?XP 202196? ,?}0{ ?XP 2021 .? 39 信息管理學(xué)院 徐曄 二、 二項分布 定義 若隨機變量 X的所有可能取值為 0,1,2, ,n,其概率分布為 … nkqpCkXP knkkn ,2,1,0,}{ ???? ?),(~,1,10pnBXpnXNnpqp記為項分布為參數(shù)的二服從以則稱其中 ?????很顯然 , n重 伯努利 試驗中成功的次數(shù)服從二項分布 事實上 ,二項分布就是來源于 n重 伯努利 試驗?zāi)Ｐ? 40 信息管理學(xué)院 徐曄 n=1時， 即 P{X=0}=1p, P{X=1}= p P{X=k}=pk(1p)1k , (k=0,1)， (01)分布 性質(zhì) 0}{ ?? kXP(1) 1)(}{00????? ?????nnkknkknnkqpqpCkXP(2) nkqpCkXP knkkn ,2,1,0,}{ ???? ? 41 信息管理學(xué)院 徐曄 ).,(~ pnBX二項分布的圖形特點 : P knO對于固定 n 及 ,p 當(dāng) k 增 加時 , 概率 }{ kXP ?先 是隨之增加直至達(dá)到最 大值 , 隨后單調(diào)減少 . ,)1(}{ knkkn ppCkXP ???? 42 信息管理學(xué)院 徐曄 pknOn ? 13 , p ? 0. 5圖 2在圖 1和圖 2中， 分別給出了當(dāng) ,10 ?? pn和 ,13 ?? pn 時二項分布的圖形 . 從圖易 看出： 對于固定 n 及 ,p 當(dāng) k 增加時， 概率 }{ kXP ?先是隨之增加直至達(dá)到最大值， 隨后 單調(diào)減少 . p k n O n ? 10 , p ? 圖 1 43 信息管理學(xué)院 徐曄 注 ： ][x 為不超過 x 的最大整數(shù) . 當(dāng) pn )1( ? 為整數(shù)時， 二項概率 }{ kXP ?在 pnk )1( ?? 和 1)1( ??? pnk 處達(dá)到最 大值 . 可以證明， 一般的二項分布的圖形也具有這一 性質(zhì)， 二項概率 }{ kXP ?在 ])1[( pnk ?? 達(dá)到最大值； pn )1( ? 不為整數(shù)時， 且當(dāng) p k n O n ? 10 , p ? 圖 1 pknOn ? 13 , p ? 0. 5圖 2 44 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 一張考卷上有 5道選擇題，每道題列出 4個 可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué) 生靠猜測至少能答對 4道題的概率是多少？ 的題數(shù)：該學(xué)生靠猜測能答對設(shè) X?????? 41,5~ BX? ?4?? XP? ?道題至少能答對 4P? ?5?? XP5445 414341 ??????????????? C641?? ?4?? XP解 每答一道題相當(dāng)于做一次 伯努利 試驗， 則 45 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 按規(guī)定 ,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品 .已知某批產(chǎn)品的一級品率為,現(xiàn)在從中隨機地抽取 20只 ,問 20只元件中恰有k(k=0,1,2,?,20) 只為一級品的概率為多少？ ?? }{ kXP記 X為 20只元件中一級品的只數(shù) , 解 ? ?BX ~ ,20kkkC ?2020 )()( .20,1,0 ??k 46 信息管理學(xué)院 徐曄 解：將每次射擊看成一次試驗 ,設(shè)擊中的次數(shù)為 X,則 X~B(400,), 399400 ))((400)(1 ???)400, .. .,2,1,0()()(}{ 400400 ??? ? kCkXP kkk}1{}0{1}2{ ?????? XPXPXP9 97 ?某人進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為，獨立射擊 400次，求至少擊中兩次的概率。02,2/12,0)(xxxxF解 (1) 由題設(shè) , )(xF 在 ),( ???? 上單調(diào)不減 , 右連續(xù) , 并有 ,0)(l i m)( ???? ??? xFF x ,1)(l i m)( ???? ??? xFF x所以 )(xF 是某一隨機變量 X 的分布函數(shù) . 19 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 判別下列函數(shù)是否為某隨機變量的分布函數(shù) ? 。 二、 隨機變量的分布函數(shù) x 14 信息管理學(xué)院 徐曄 發(fā)生的概率本質(zhì)上是事件分布函數(shù) }{)( xXxF ?定義域為分布函數(shù) )( xF ?????? x取值范圍為分布函數(shù) )( xF 1)(0 ?? xF}{}{ 21 xXxX ???且}){}({}{ 1221 xXxXPxXxP ??????所以}{}{ 12 xXPxXP ????)()( 12 xFxF ??}{}{}{ 1221 xXxXxXx ??????由于 15 信息管理學(xué)院 徐曄 X的分布函數(shù)為 出現(xiàn)的點數(shù)小于 x的概率 1,2,3,4,5,6 例 3 擲一枚骰子 ,設(shè) X表示出現(xiàn)的點數(shù) ,其可能取值為 沒有可能的點數(shù) 包含出現(xiàn) 1點 包含出現(xiàn) 1,2點 包含出現(xiàn) 1,2,3點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4,5點 包含出現(xiàn) 1,2,3,4,5,6點 ????????????????????????????616565543243213231216110}{)(xxxxxxxxXPxF 分布函數(shù)是累計概率 16 信息管理學(xué)院 徐曄 分布函數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ? , 上是一個不減函數(shù)在 ????xF(1) ? ?? ? ? ? 。 隨機變量的定義 定義 ：設(shè)隨機試驗 E的樣本空間是 Ω={w}，如果對于每一個 w∈ Ω，有一個實數(shù) X(w)與之對應(yīng)，且對任何一個實數(shù) 是隨機事件，這樣就得到一個定義在 Ω上的 單值實值 函數(shù) X=X(w)，稱X=X(w)為 隨機變量 , 簡記為 X。 1 信息管理學(xué)院 徐曄 第 2章 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布函數(shù) 連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù) 幾種常見的離散型分布 離散型隨機變量及其分布律 隨機變量函數(shù)及其分布 正態(tài)分布 信息管理學(xué)院 徐曄 隨機變量及其分布函數(shù) 一、隨機變量 二、 隨機變量的分布函數(shù) 3 信息管理學(xué)院 徐曄 一、隨機變量 例 袋中有 3只黑球， 2只白球，從中任意取出 3只球，觀察 取出的 3只球中的黑球的個數(shù)．我們將 3只黑球分別記 作 1， 2， 3號， 2只白球分別記作 4， 5號，則該試驗的 樣本空間為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????????????543542532432541531431521421321，，，，? 4 信息管理學(xué)院 徐曄 我們記取出的黑球數(shù)為 X，則 X 的可能取值為 1,2,3． 因此 ,X是一個變量． 但是， X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即 X的取值帶有隨 機性，所以，我們稱 X 為隨機變量． X 的取值情況可由下表給出： 樣本點 黑球數(shù) X 樣本點 黑球數(shù) X ? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1 ? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2 ? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2 ? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1 ? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 5 信息管理學(xué)院 徐曄 由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng) 著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空 間 Ω上的函數(shù)： ? ? ? ???? wwXX我們定義了隨機變量后，就可以用