【正文】 k k k k kn n n ny y k k k kk k k kx x y ynnL x x x x x nxnL x x y y x y x y x y nx ynL y y y y y nyn??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?不難看出，為使 Q（a,b） 達到最小，只要取 1 1 12211?()?n n nk k k kxy k k knnxxkkkkn x y x yLbLn x xa y b x? ? ??????? ??????????? ? ???= ，就可以了。而且這時 Q（a,b）達到最小值 2??( , ) xyyyxxLQ a b LL??。 我們得到的回歸直線為 kx 帶入到此方程，即可得到一個相應的 此值可以看作是 ky的計算值。 把樣本中的 2xyyyxxnn22k k k kk = 1 k = 1L??Q ( a , b ) = L L? ??= ( y y ) = ( b x + a y )??? ??y = b x + a 我們把 22??( , ) 1 x y x yy y y yx x x x y yLLQ a b L LL L L??? ? ? ?????叫做殘差平方和?；貧w直線就是使殘差平方和達到最小的那條直線。 ??( , )Q a b??( , )Q a b 越小，說明直線回歸越好。這就部分地解決了我們判斷線性回歸好不好的問題。 這里還得到一個副產(chǎn)品： 22??( , ) 1 0 , x y x yy y y yx x x x y yLLQ a b L LL L L??? ? ? ? ?????從而 20 1 , xyx x y yLLL??2x y x x y yL L L? 所以 相關(guān)系數(shù) 1 1 12 2 2 21 1 1 112 2 2 211111( ) ( )n n nk k k kxyk k kn n n nxxyyk k k kk k k knkkknnkkkkx y x yLnrLLx x y ynnx y nx yx nx y ny? ? ?? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????== ， 可見 | | 1r ?|r|越接近于 1，直線回歸越好。 22: ( 1 , 2 )11nF F nr???? 如果 |r|接近于 1， F值就會比較大。但是如果沒有線性相關(guān)關(guān)系， F值較大的可能性很小。所以據(jù)此判斷有線性相關(guān)關(guān)系。 事實上，如果沒有線性相關(guān)關(guān)系，那么 例：教材 73頁例一的數(shù)據(jù)。用 Excel計算： 輸入數(shù)據(jù) 作散點圖：插入 — 圖表 — 散點圖 作回歸方程：激活散點圖 — 點一個散點 — 右鍵 — 添加趨勢線 — 線性 — 選項卡 — 顯示公式， R平方值 回歸 也可以用計算器： MODE+2 進入回歸狀態(tài) 輸入數(shù)據(jù)： SHIFT+KAC(即開關(guān)鍵 )開始輸入數(shù)據(jù)： 95+(xD,yD)(四排一鍵 )++DATA鍵 (最后一鍵 ) 這樣就完成一對數(shù)的輸入。重復地輸入所有數(shù)據(jù)； SHIFT+A (即 7鍵 ) 給出 a， SHIFT+B (即 8鍵 )給出 b； SHIFT+r(即 9鍵 )給出相關(guān)系數(shù)； 輸入一個 x值 +y^鍵 (四排二鍵 )給出對應的 y的預測值； 輸入一個 y值 +SHIFT+x^鍵 (四排二鍵 )給出對應的 x的控制值。 第五節(jié) 獨立性檢驗 美國在殺人犯的死刑判決中存在種族差異 ?一位叫 Radelet的研究人員對此進行了研究。 怎樣研究？ 總體：美國殺人犯 問題： A表示殺人犯是白人， B表示被判處死刑。 A,B這兩個隨機事件是否獨立 ? A,B如果獨立，則 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A B P A P BP A B P A P BP A B P A P BP A B P A P B?????這些式子用一句話說就是： 殺人犯是白人還是黑人和判不判死刑沒有關(guān)系 我們怎樣來判斷這個言論的對錯呢？ 用統(tǒng)計的方法，估計上面涉及到的每一個概率， 看看估計的結(jié)果和上面的等式之間會不會發(fā)生沖突。 所以，首先要抽樣。 在殺人犯中任取 326人，其中 白人 160名，黑人 166名。 結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 160名白人中有 19人被判死刑， 141人未判死刑； 166名黑人中有 17人被判死刑， 149人未判死刑。 為了便于說明，我們把這些數(shù)據(jù)總結(jié)在如下的表格中： 我們先列出上面提到的所有概率的估計值： ( ) ( ) ( ) :P A B P A P B? 1 1 1 1,n n nn n n???( ) ( ) ( ) :P AB P A P B? 2 1 2 1,n n nn n n???( ) ( ) ( ) :P AB P A P B? 1 2 1 2,n n nn n n???( ) ( ) ( ) :P A B P A P B?? 22 2 2,n n nn n n??? 如果 A,B相互獨立 ，那么下面各數(shù)都不應該太大： 1 1 1 21 1 1 22 1 2 22 1 2 2,.n n n nnnnnn n n nnnnn?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ?221 1 1 21 1 1 221 1 1 2222 1 2 22 1 2 22 1 2 2n n n nnnnnn n n nnnn n n nnnnnn n n nnn?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ?? 英國統(tǒng)計學家 Pearson證明，如果如果 A,B相互獨 立，那么當 n趨向于無窮大時， 2?將是一個 的隨機變量。 作為統(tǒng)計量的 服從自由度為 1的 分布 2?2( 3. 84 1 ) 0. 05P ? ??如果 A,B相互獨立，則當 n比較大時，有 2( 5. 02 4) 0. 02 5P ? ??2( 6. 63 5 ) 0. 01P ? ??2 2 23. 84 1 , 5. 02 4 , 6. 63 5? ? ?? ??? ? ??? ?， ， 都是小概率事件 所以，如果我們把表里的數(shù)據(jù)代到公式里求出的 2? 大于其中的某個數(shù)，我們就有理由做出 A,B不相互獨立 的結(jié)論。 在 死刑問題里 2 = 0 . 2 2 2?小概率事件沒有發(fā)生。所以我們沒有理由否定 A,B相互獨立 的結(jié)論，認為數(shù)據(jù)不能充分說明在死刑判決中存在種族差異。 簡化計算公式 ? ? ? ?? ? ? ?221 1 1 1 1 2 1 221 1 1 2222 1 2 1 2 2 2 22 1 2 2n n n n n n n nn n n n n nn n n n n n n nn n n n n n??? ? ? ?? ? ? ???????? ? ??? ?? ?? ? ??