【正文】 隨機(jī)變量的取值 情況來刻劃 隨機(jī)事件 ．例如 ? ?2?X 表示至少取出 2個(gè)黑球 這 一事件，等等． ? ?? ? ? ?22 ??? XwXw ： 表示取出 2個(gè)黑球 這 一事件； 樣本點(diǎn) 黑球數(shù) X 樣本點(diǎn) 黑球數(shù) X? ?321 ， 3 ? ?541 ， 1? ?421 ， 2 ? ?432 ， 2? ?521 ， 2 ? ?532 ， 2? ?431 ， 2 ? ?542 ， 1? ?531 ， 2 ? ?543 ， 1 6 信息管理學(xué)院 徐曄 例 一大批產(chǎn)品中次品率為 p，從中任取 n件，求其中最多有 k件次品的概率。 niinA i,2,1,0 ??件次品，件產(chǎn)品中有為設(shè)nXnX,2,1,0 ??則件產(chǎn)品中的次品數(shù)，為設(shè)件次品件產(chǎn)品中最多有為 knBkAAAB ???? 10?則個(gè)次品則可表示最多有 kkX }{ ?}{}1{}0{}{kXXXkX?????????求 P(B) }{ kXP ?求 7 信息管理學(xué)院 徐曄 Bernoulli試驗(yàn)中， A表示成功，可設(shè) ????不發(fā)生發(fā)生AAX01 8 信息管理學(xué)院 徐曄 此處用 {w}表示樣本空間，并非樣本空間中只有一個(gè)元素 w，而是用 w表示所有的元素。 ? ?? ???? wxwXwx , 9 信息管理學(xué)院 徐曄 說 明 等來表示．、希臘字母或、文字母隨機(jī)變量常用大寫的英⑴?????ZYX常關(guān)心的是它的取值．對(duì)于隨機(jī)變量，我們常⑵．的取值來描述隨機(jī)事件的，是要用隨機(jī)變量我們定義隨機(jī)變量的目⑶ 10 信息管理學(xué)院 徐曄 例 1 盒中有 5個(gè)乒乓球 ,其中 2個(gè)白球， 3個(gè)黃 球 ,從中任取 3個(gè) ,記 X=“ 取到白球的個(gè)數(shù)” ,則 X是一個(gè)隨機(jī)變量 ,且 X的可能取值是 0,1,2,且 有 ?? )0( XP?? )1( XP?? )2( XP533 ?CC52312 ?CCC51322 ?CCC 11 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 上午 8:00～ 9:00 在某路口觀察，令 Y： 該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則 Y 就是一 個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為 0， 1， … ． ? ?100?Y 表示通過的汽車數(shù)小于 100輛這一隨機(jī)事件； ? ?10050 ?? Y 表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機(jī)事件． 12 信息管理學(xué)院 徐曄 隨機(jī)變量概念 的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件 .引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究 . 隨機(jī)變量因其取值方式的不同， 通常分為兩類： 離散型 隨機(jī)變量 連續(xù)型 非離散型 其它 13 信息管理學(xué)院 徐曄 }{)( xXPxF ??稱為 X的分布函數(shù)． 0 x x X 設(shè) X是一個(gè)隨機(jī)變量 , 是任意實(shí)數(shù) , 函數(shù) 幾何定義 ： 將 X 看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，分布函數(shù) )( xF 在 x 處的函數(shù)值就表示 X 落在區(qū)間 ],( x?? 上的概率。,212121xFxFxxxx???????? 都有且即對(duì)? ? ? ?21F x F x??? ?12 0P x X x? ? ?(3) F(x) 右連續(xù)，即 ? ?000 l i m ( ) ( )xxF x F x F x????(2) ()F ?? ? ? ?limx Fx? ?? ? ?limx Fx? ??()F ?? ?0? 1?）（ ??????? xxXPxF ),()( 17 信息管理學(xué)院 徐曄 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè) X 的分布函數(shù) . 也就是說，性質(zhì) (1)(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某 的分布函數(shù)的充分必要條件 . 18 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? (1) ????????????0,1。,10,s i n0,0)(????????????xxxxxF(2) (2) 因 )(xF 在 上單調(diào)下降 , ),2( ??不可能是分布函數(shù) . )(xF所以 解 20 信息管理學(xué)院 徐曄 都有、 Rxxx ?? 21)0()(}{}{}{ ???????? xFxFxXPxXPxXP)(1}{1}{ xFxXPxXP ??????)0(1}{1}{ ??????? xFxXPxXP)0()(l i m}{ 0 ????? ?? xFxxFxXP x ??用分布函數(shù) F(x)表示的事件概率計(jì)算公式 )()(}{ 1221 xFxFxXxP ????)0()(}{ 1221 ????? xFxFxXxP)()0(}{ 1221 xFxFxXxP ?????)0()0(}{ 1221 ?????? xFxFxXxP 21 信息管理學(xué)院 徐曄 ?????????3031)( 3xxxAxFX 的分布函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量}52{)2(。 所求概率 為 47 信息管理學(xué)院 徐曄 ????? 0}{)2(kkXP是常數(shù)其中 0, . . . .2,1,0,!}{ ????????kkekXPk隨機(jī)變量 X所有可能取值為 0,1,2,…, 取各個(gè)值的概率 稱 X服從參數(shù)為 ?的 泊松分布 ,記為 X~P(?). (1) P{ X=k}?0. ????0 !kkke ?? 1!0 ??????? ? ??? ? eeke kk三、 泊松 (Poisson)分布 性質(zhì) 48 信息管理學(xué)院 徐曄 泊松分布的背景及應(yīng)用 二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí) ,他們做了 2608次觀察 (每次時(shí)間為 )發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi) , 其放射的粒子數(shù) X服從泊松分布 . ? 49 信息管理學(xué)院 徐曄 電話呼喚次數(shù) 交通事故次數(shù) 商場(chǎng)接待的顧客數(shù) 地震 火山爆發(fā) 特大洪水 在生物學(xué) 、 醫(yī)學(xué) 、 工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及 公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的 . 例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電 話呼喚次數(shù)等 , 都服從泊松分布 . 50 信息管理學(xué)院 徐曄 例 5 一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為 6的 Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率 . 解 設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為 X )6(~ PX則所以 ,一年中不多于兩次斷電的概率為 }2{ ?XP }0{ ?? XP }1{ ?? XP }2{ ?? XP60!06 ?? e 61!16 ?? e 62!26 ?? e= 查表 (累積概率 ) 51 信息管理學(xué)院 徐曄 二項(xiàng)分布的泊松逼近 對(duì)二項(xiàng)分布 ),( pnB 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 很大時(shí)， 計(jì) 算其概率很麻煩 . 例如， 要計(jì)算 n=5000 ? ?? ????5 0 0 065 0 0 065 0 0 0}{k kkCkXP ,1 0 0 09 9 91 0 0 01 5 0 0 0 kk ?????????????}5{ ?XP故須尋求近似計(jì)算方法 . 這里先介紹二項(xiàng)分布的 泊松逼近 ， 在第五章中還將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài) 逼近 . 52 信息管理學(xué)院 徐曄 泊松定理 在 n 重伯努利實(shí)驗(yàn)中， 事件 A 在 每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ,np 若當(dāng) ??n 時(shí)， 0( ?? ??nnp 為常數(shù) ), 則有 ,!)1(lim ?? ?????? ekppCkknnknknn?,2,1,0?k該定理于 1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入！ 53 信息管理學(xué)院 徐曄 二項(xiàng)分布 泊松分布 )( ???? nnp ? 可見，當(dāng) n充分大 ,p又很小時(shí) ,可用泊松分布來近似二項(xiàng)分布！ 實(shí)際計(jì)算中， 10,100 ?? npn 時(shí)近似效果變很好 . 54 信息管理學(xué)院 徐曄 由泊松定理， n重 伯努利 試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布 . 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件 . 如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等 55 信息管理學(xué)院 徐曄 例 6 一家商店采用科學(xué)管理 ,由該商店過去的銷售記 錄知道 ,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù) 的 泊松分布來描述 ,為了以 95%以上的把握保證不脫 銷 ,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件 ? 5??解 設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為 ,X X已知 服從參數(shù) 5?? 的泊松分布 . 設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品 m件 , 求滿足 }{ ?? mXP 的最小的 ,m 即 !505 ????mkkke 查泊松分布表 , 得 ,968 17 !5905????kkke !5805????kkke于是得 9?m 件 . 56 信息管理學(xué)院 徐曄 保 險(xiǎn) 公司 為 了估 計(jì) 企 業(yè) 的利 潤 ，需要 計(jì) 算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。)1( 對(duì)稱曲線關(guān)于 μx ?。0)(,)3( ???? xfx 時(shí)當(dāng)。,)(,)6(軸作平移變換著只是沿圖形的形狀不變的大小時(shí)改變當(dāng)固定xxfμσ 。 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸 :直徑、長度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布 .