概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(6)-在線瀏覽
2025-06-16 12:04本頁(yè)面
【正文】 ? ? ?????????，11 niiXXn?? ?? ? 2 211 1niiP X P Xnn?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??????令 n→∞ ，并注意到概率小于等于 1，有結(jié)論 : 11l im 1niniPXn??? ? ? ???? ? ??????證明： 設(shè) X表示在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)， p是每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率，即 X ~ B(n, p) 1 , , 1 2 ., ,i i AX i , , , n i A?????第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 發(fā) 生第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 不 發(fā) 生 0引入 1,niiXX?? ?11 niiX X n Ann ?? ? 是 次 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 頻 率? 定理 2： 伯努利大數(shù)定律 頻率的穩(wěn)定性 則 X1, X2, … , Xn 相互獨(dú)立 ,都服從 01分布 ,且 l im 1nXPpn?????? ? ?????? 定理： 伯努利大數(shù)定律 頻率的穩(wěn)定性 設(shè) X是 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù) ε， 恒有 l im 0nXPpn?????? ? ?????或 者11l im 1niniPXn??? ? ? ???? ? ??????? 伯努利 大數(shù)定律表明： 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n充分大時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率 X / n與事件 A發(fā)生的概率 p 有較大偏差的概率很小。 ? 定理的應(yīng)用： 可通過(guò)多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定事件 A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 ()X p P An??定 理 說(shuō) 明 中心極限定理 Central limit theoerm ? 客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中，有許多隨機(jī)現(xiàn)象可以看做是由很多因素獨(dú)立影響的綜合結(jié)果 ,而每一個(gè)因素對(duì)該現(xiàn)象的影響都很微小，但總起來(lái)卻對(duì)總和有顯著影響 ,那么描述這種隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量可以看成很多相互獨(dú)立的起微小作用的因素的總和，它往往近似地服從正態(tài)分布。 中心極限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在 18世紀(jì)首先提出的，到現(xiàn)在內(nèi)容已十分豐富；在這里，我們只介紹其中兩個(gè)最基本的結(jié)論： 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于 ∞，故我們不研究 n個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而考慮其標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量： 的極限分布。 還有另一記法 : 11 nkkXXn ?? ?記 ， 有2 212l i m e ( ) /x tnXP x d t xn ??? ????? ?? ? ? ??????2 2112l im ( ) nixtinXnP x e d t xn ?????????????? ? ? ? ???????? ? ? ?2 11, 。求 (1) 每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò) ；
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