概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-在線瀏覽
2025-08-10 17:20本頁(yè)面
【正文】 進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái)。大數(shù)定律與中心極限定理的應(yīng)用馬吟濤1（1. 江西師范大學(xué) 科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330027）摘要：大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)—平均結(jié)果的穩(wěn)定性，它是概率論中一個(gè)非常重要的定律，應(yīng)用很廣泛。本文介紹了幾種常用的大數(shù)定律，并分析了它們?cè)诶碚撆c實(shí)際中的應(yīng)用 。然而，在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，它的穩(wěn)定性會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多表現(xiàn)得越來(lái)越明顯。大數(shù)定律給出了穩(wěn)定性的確切含義，并且給出了什么條件下才具有穩(wěn)定性。 即，大數(shù)定律及其在理論與實(shí)際生活中的一些應(yīng)用。2 常見大數(shù)定律 由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率 1 收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。 設(shè)有一隨機(jī)變量序列，假如它具有形如（1）的性質(zhì)，則稱該隨機(jī)變量服從大數(shù)定律（見左上方圖片）。 切比雪夫大數(shù)定律：設(shè){X_n}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個(gè)X_i的方差存在，且有共同的上界，即Var(X_i)小于或等于c,則{X_n}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的ε0，（1）式成立。 辛欽大數(shù)定律：設(shè){X_n}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若X_i的數(shù)學(xué)期望存在，則{X_n}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的ε0，（1）成立。設(shè)，則有該不等式表明：當(dāng)很小時(shí)，也很小，即的取值偏離的可能性很小。切比雪夫不等式常用來(lái)求在隨機(jī)變量分布未知，只知其期望和方差的情況下，事件概率的下限估計(jì)；同時(shí)，在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具。通俗的說(shuō)，在定理的條件下，個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量算術(shù)平均值，在無(wú)限增加時(shí)將幾乎變成一個(gè)常數(shù)。定理2（De MoivreLaplace極限定理）(定理1的特殊情形)設(shè)是n重Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)，已知每次試驗(yàn)成功的概率為，則對(duì)有 。、重積分上的應(yīng)用大數(shù)定律本身便是概率論中非常重要的定理之一，而它與其他數(shù)學(xué)理論也有密不可分的聯(lián)系，而且對(duì)這些數(shù)學(xué)理論分支有不可或缺的作用?？梢哉f(shuō)大數(shù)定律是利
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