概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率歷史介紹-在線瀏覽
2025-08-02 21:58本頁面
【正文】 學(xué)生應(yīng)該有更多的主動(dòng)權(quán)和試驗(yàn)權(quán)，在動(dòng)手和動(dòng)腦中感受概率與統(tǒng)計(jì)的思想和方法．3. 概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的背后：專業(yè)素養(yǎng)的提升在課題研討時(shí)，教師們表現(xiàn)出這樣一些困惑：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來越穩(wěn)定？頻率估計(jì)概率，一定要大量試驗(yàn)？實(shí)驗(yàn)次數(shù)多少合適？事實(shí)上，這些問題涉及的就是概率與統(tǒng)計(jì)的專業(yè)素養(yǎng)．對(duì)于大多數(shù)教師而言，概率與統(tǒng)計(jì)相對(duì)而言比較陌生，這是很自然的，因?yàn)樵诮處熥陨斫邮艿臄?shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)弱項(xiàng)．但是，既然要向?qū)W生教授概率與統(tǒng)計(jì)，那么還是需要有“一桶水”的．就像上面的問題，翻閱任何一本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，都可以給我們知識(shí)上的答案，而翻閱一下相關(guān)的科普讀物或史料，就可以給我們思想方法上的答案．舉個(gè)例子：伯努利大數(shù)定律：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p()，則對(duì)任意的，有．狄莫弗拉普拉斯極限定理：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p()，則．伯努利大數(shù)定律只是告訴我們，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，頻率依概率收斂于概率p．伯努利的想法是：只要n充分大，那么頻率估計(jì)概率的誤差就可以如所希望的?。档觅澷p的是，他利用了“依概率收斂”而不是更直觀的p，因?yàn)轭l率是隨著試驗(yàn)結(jié)果變化的，在n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)n次也是有可能的，此時(shí)p就不成立了． ．（*）可追溯到15世紀(jì)末至16世紀(jì)中期，意大利的一些學(xué)者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問題，例如比較擲兩個(gè)骰子出現(xiàn)總點(diǎn)數(shù)為9或10的可能性大小。而在A勝S1=5局且B勝S2=2局時(shí)中斷。他認(rèn)為，對(duì)于A有利的情形是：若再賭1場(chǎng)則A勝；若再賭2場(chǎng)，則B先勝A后勝；若再賭3場(chǎng)，則B先勝2場(chǎng)而A勝最后1場(chǎng)；若再賭4場(chǎng)，則B先勝3場(chǎng)而A勝最后1場(chǎng)。于是得出應(yīng)按（1+2+3+4）/1來分賭本。1556年，塔塔利亞（Niccolo Fontana,14991557,綽號(hào)Tartaglia）也批評(píng)了巴喬利的解法，并甚至懷疑能找到數(shù)學(xué)解答的可能性?！辈贿^，他也提出一種解法（略） 17世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡、費(fèi)馬及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯基于排列組合的方法研究了一些較復(fù)雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭注問題”（即“得分問題”，）、“輸光問題”等等。可是當(dāng)一個(gè)賭徒A贏a局（a＜s） ，而另一個(gè)賭徒B贏b局（b＜s）時(shí)，賭博因故終止了，問賭本應(yīng)如何分配？”帕斯卡將這個(gè)問題和他的解法寄給費(fèi)爾馬，這是1654年7月29日電事情。A、B都拿12枚金幣，5局3勝。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應(yīng)為24/2+12/2=18枚，B應(yīng)為0/2+12/2=6枚。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則結(jié)果同（1）他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應(yīng)為24/2+18/2=21枚，B應(yīng)為0/2+6/2=3枚。其方法不是直接計(jì)算賭徒贏局的概率，而是計(jì)算期望的贏值。所以再賭2局，共有4種情況：MM，MP，PM，PP；前3種情況都是梅累先勝3局，只有第4種情況保羅先勝3局，所以梅累所得金幣應(yīng)為24*3/4=18枚，保羅應(yīng)為24*1/4=6枚。使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠基人則是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布第一他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數(shù)律；該定理斷言：設(shè)事件A的概率P（A）=p（0p1），若m表示前n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，從而m/n為事件A出現(xiàn)的頻率，則當(dāng)n→∞時(shí)， 式中ε為任一正實(shí)數(shù)。這里所說的事件的概率，應(yīng)理解為事件發(fā)生的機(jī)會(huì)的一個(gè)測(cè)度，即公理化概率測(cè)度（詳見后）。棣莫弗對(duì)p=1/2情形，用他導(dǎo)出的關(guān)于n！的漸近公式（即所謂斯特林公式）進(jìn)一步證明了漸近地服從正態(tài)分布（德國數(shù)學(xué)家C。高斯于1809年研究測(cè)量誤差理論時(shí)重新導(dǎo)出正態(tài)分布，所以也稱為高斯分布）。S。拉普拉斯對(duì)概率論的發(fā)展貢獻(xiàn)很大。在這一著作中，他首次明確規(guī)定了概率的古典定義（通常稱為古典概率，見概率），并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數(shù)等，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過渡，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。繼拉普拉斯以后，概率論的中心研究課題是推廣和改進(jìn)伯努利大數(shù)律及棣莫弗－拉普拉斯極限定理。Л。次年，又建立了有關(guān)各階絕對(duì)矩一致有界的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的中心極限定理；但其證明不嚴(yán)格，后來由Α。馬爾可夫于1898年補(bǔ)證。М。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。Я。Η。萊維及W。到20世紀(jì)30年代，有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的極限理論已臻完備。1905年A。斯莫盧霍夫斯基各自獨(dú)立地研究了布朗運(yùn)動(dòng)。但直到1923年，N。1907年馬爾可夫在研究相依隨機(jī)變量序列時(shí)，提出了現(xiàn)今稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）的概念；而馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)則由柯爾莫哥洛夫在1931年所奠定。所有這些關(guān)于隨機(jī)過程的研究，都是基于分析方法，即將概率問題化為微分方程或泛函分析等問題來解決。這種方法的特點(diǎn)是著眼于隨機(jī)過程的軌道性質(zhì)。他的著作《隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)》（1948）至今仍是隨機(jī)過程理論的一本經(jīng)典著作。L。在概率發(fā)展史中特別值得一提的是柯爾莫哥洛夫在1933年建立了概率論的公理化體系。19世紀(jì)，幾何概率逐步發(fā)展起來。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)超過圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于 1/4點(diǎn)與3/4點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在60176。之間，其長(zhǎng)才合乎要求。③ 弦
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