概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率歷史介紹-展示頁
2025-06-24 21:58本頁面
【正文】 達(dá)這個意思．即使如此，古典定義的方法能應(yīng)用的范圍仍然很窄，而且還有數(shù)學(xué)上的問題．“應(yīng)用性的狹窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“尋找另一條途徑找到所期待的結(jié)果”，這就是他在研究古典概率時的另一重要成果：伯努利大數(shù)定律．這條定律告訴我們“頻率具有穩(wěn)定性”，所以可以“用頻率估計概率”，而這也為以后概率的統(tǒng)計定義奠定了思想基礎(chǔ)．“古典定義數(shù)學(xué)上的問題”在貝特朗（1822—1900）悖論中表現(xiàn)得淋漓盡致，它揭示出定義存在的矛盾與含糊之處，這導(dǎo)致了拉普拉斯的古典定義受到猛烈批評．概率的古典定義雖然簡單直觀，但是適用范圍有限．正如雅各布?伯努利所說：“……這種方法僅適用于極罕見的現(xiàn)象．”因此，他通過觀察來確定結(jié)果數(shù)目的比例，并且認(rèn)為“即使是沒受過教育和訓(xùn)練的人，憑天生的直覺，也會清楚地知道，可利用的有關(guān)觀測的次數(shù)越多，發(fā)生錯誤的風(fēng)險就越小”．雖然原理簡單，但是其科學(xué)證明并不簡單，在古典概型下，伯努利證實(shí)了這一點(diǎn)，即“當(dāng)試驗次數(shù)愈來愈大時，頻率接近概率”．事實(shí)上，這不僅對于古典概型適用，人們確信“從現(xiàn)實(shí)中觀察的頻率穩(wěn)定性”的事實(shí)是一個普遍規(guī)律．1919年，德國數(shù)學(xué)家馮?米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了概率的統(tǒng)計定義：在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固定數(shù)值的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數(shù)值定義為這一事件的概率．雖然統(tǒng)計定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個估計概率的方法．而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應(yīng)用的角度來講，它的適用范圍更廣．但是從數(shù)學(xué)理論上講，統(tǒng)計定義是有問題的．在古典概率的場合，事件概率有一個不依賴于頻率的定義——它根本不用訴諸于試驗，這樣才有一個頻率與概率是否接近的問題，其研究導(dǎo)致伯努利大數(shù)定律．在統(tǒng)計定義的場合這是一個悖論：你如不從承認(rèn)大數(shù)定律出發(fā)，概率就無法定義，因而談不上頻率與概率接近的問題；但是你如承認(rèn)大數(shù)定律，以便可以定義概率，那大數(shù)定律就是你的前提，而不是一再需要證明的論斷了．正因為古典定義和統(tǒng)計定義數(shù)學(xué)理論上的這樣或那樣的問題，所以到了19世紀(jì)，無論是概率論的實(shí)際應(yīng)用還是其自身發(fā)展，都要求對概率論的邏輯基礎(chǔ)作出更加嚴(yán)格的考察．1900年，38歲的希爾伯特（1862—1943）在世界數(shù)學(xué)家大會上提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，這就是著名的希爾伯特23個問題中的第6個問題．這引導(dǎo)了一批數(shù)學(xué)家投入這方面的工作．在概率公理化的研究道路上，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（1903—1987）成績最為卓著，1933年，他在《概率論基礎(chǔ)》中運(yùn)用集合論和測度論表示概率論的方法賦予了概率論嚴(yán)密性．為什么直到20世紀(jì)才實(shí)現(xiàn)了概率論的公理化，這是因為20世紀(jì)初才完成了勒貝格測度與積分理論以及抽象測度與積分理論，而這都是概率論公理化體系建立的基礎(chǔ)．柯爾莫哥洛夫借助實(shí)變函數(shù)論和測度論來定義概率概念，形成了概率論的公理化體系，他的公理體系既概括了古典定義、統(tǒng)計定義的基本特性，又避免了各自的局限．例如，公理中有一條，是把事件概率的存在作為一個不要證明的事實(shí)接受下來，在這個前提下，大數(shù)定律就成為一個需要證明且可以得到證明的論斷，這就避免了“4”中統(tǒng)計定義的數(shù)學(xué)理論上的問題；而公理中關(guān)于“概率存在”的規(guī)定又有其實(shí)際背景，這就是概率的古典定義和統(tǒng)計定義．所以，我們說，概率論公理體系的出現(xiàn)，是概率論發(fā)展史上的一個里程碑，至此，概率論才真正成為了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支．二、關(guān)于概率定義教學(xué)的幾點(diǎn)思考對于概率的定義，教科書是先給出古典定義，然后再給出統(tǒng)計定義．這與歷史上概率定義的發(fā)展相吻合，從“簡單到復(fù)雜”．在教學(xué)中，我們不僅要明了這種順序的設(shè)計意圖，而且還要抓住不同定義的特點(diǎn)和思想，以引導(dǎo)學(xué)生更好地理解概率．在前面的分析中，我們說“等可能”是古典概率非常重要的一個特征，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提．正是因為“等可能”，所以才會有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定義教學(xué)中的兩個落腳點(diǎn)．“等可能”是無法確切證明的，往往是一種感覺，但是這種感覺是有其實(shí)際背景的，例如，擲一枚硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因為它質(zhì)地均勻；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不是等可能的，因為圖釘本身給我們的感覺就是帽重釘輕．因此，“等可能”并不要多么嚴(yán)密的物理上或化學(xué)上的分析，只需要通過例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便讓學(xué)生明白古典定義的適用對象須具備的條件．從直觀上講，統(tǒng)計定義是非常容易接受的，但是它的內(nèi)涵是非常深刻的，涉及到大數(shù)定律．在初中階段，我們不可能讓學(xué)生接觸其嚴(yán)格的形式和證明．因此，統(tǒng)計定義定位在其合理性和必要性是比較恰當(dāng)?shù)模绾巫寣W(xué)生體會其合理性和必要性？羅老師的課堂教學(xué)比較好地實(shí)現(xiàn)了這兩點(diǎn)．從教學(xué)順序來看，羅老師將“擲硬幣”作為歸納統(tǒng)計定義的例子，“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過試驗的方法計算得到的頻率就可以和這個明確的概率值相比較，如此更容易讓學(xué)生體會到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實(shí)，從而感受到“用頻率估計概率”的合理性；羅老師將“擲圖釘”作為統(tǒng)計定義的應(yīng)用，“擲圖釘”不能用古典定義求概率，由此能讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)統(tǒng)計定義計算事件概率的必要性．從教學(xué)手段來看，羅老師主要采用了“學(xué)生試驗”的方法，學(xué)生的親自試驗在這節(jié)課所起的作用是無可代替的：“親自試驗”獲得的結(jié)果能夠給學(xué)生以真實(shí)感和確切感；“親自試驗”能夠讓學(xué)生感受到頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性等特點(diǎn)．所以，像概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，
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