概率論與數理統計(編輯修改稿)
2025-07-20 17:20 本頁面
【文章內容簡介】 的平均結果穩(wěn)定于平均值的極限理論。可以說大數定律是利用極限才得出的，同時利用大數定律可以來求解極限，這當然只是眾多求極限方法之一，但也有它獨特的簡潔和巧妙。就以大數定律和極限這個概念的關系為例子，用它來對我們要求的重積分和極限相關的問題進行另一種方式的求解。極限伴隨重積分出現的類型在高數中是常見的，在利用大數定律來求解這類重積分的極限的題目前，先介紹一個相關定理。勒貝格控制收斂定理 設（1）是可測集上的可測函數列； （2）于（n=1，2，…..，）且在上可積分（稱 為所控制，而叫控制函數）； （3）；則在上可積分且；例1：已知，求的值。解：設，……，為獨立同分布的隨機變量序列，服從（0，1）上的均勻分布，為獨立同分布，為獨立同分布。且 又 由契貝曉夫大數定律可知：當是獨立的同分布的隨機變量序列，且，由前面知道是強大數定律可知，；由此可知 即 又因為且故有，因此。由此，有根據勒貝格控制收斂定理可知：==即。可以看出，利用大數定律求解數學分析中的重積分和極限收斂問題有它簡潔的一面，也體現了大數定律等概率論等知識的廣泛聯系和應用。例2: 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的,假設每箱的平均重50千克,標準差5千克. 若用最大載重量為5噸的汽車承運,試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,.
解答：設為第i箱的重量(),由列維林德伯格中心極限定理,有
所以n必須滿足也就是最多可以裝98箱.(供電問題)某車間有200臺車床,在生產期間由于需要檢修、調換刀具、變換位置及調換零件等常需停車. , 并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.
%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產?
解：某一時刻開動的車床數，要求最小的k,使由DL定理, ，相當于8小時內約有半分鐘受影響，這一般是允許的。 某產品次品率p = ,試估計在1000件產品中次品數的概率 .
次品數由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理,有：次品數：若是使用切比
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