概率論與數(shù)理統(tǒng)計第6講-在線瀏覽
2025-03-09 07:41本頁面
【正文】 機事件數(shù)量化 ,把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字表示時 , 就建立起了隨機變量的概念 . 因此 隨機變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù) . 第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布律 離散型隨機變量的分布律與性質(zhì) 一些常用的離散型隨機變量 小結(jié) 一、離散型隨機變量的分布律與性質(zhì) 1) 離散型隨機變量的定義 如果隨機變量 X 的所有的取值是有限個或可列無限多個 ，則稱 X 為離散型隨機變量 ． 2) 離散型隨機變量的分布律 (概率分布 或 概率函數(shù) ) 稱此式為 離散型隨機變量 X的分布律 。第一節(jié) 隨機變量 一． 問題的引入 二． 隨機變量的定義 三． 小結(jié) 二、隨機變量的 定義 定義 設(shè) S={e}是隨機試驗 E的樣本空間，如果(1)對每個 e? S，存在一個實數(shù) X(e)與之對應(yīng)，即變量 X是定義在樣本空間 S上的一個實單值函數(shù)；(2)對每個 x ?R，事件 {e|X(e)?x}有確定的概率，則稱 X=X(e)為 S上的 隨機變量 。 簡記為 . X (random variable) 隨機變量的特點 : X的全部可能取值是互斥且完備的 。 定義 ：設(shè)離散型隨機變量 X所有可能取的值為 X取各個可能值的概率 ,即事 件 的概率 ,為 ( 1 , 2 , ),kxk ?{}kXx?{ } , 1 , 2,kkP X x p k? ? ?Xkp?? nxxx 21?? nppp 21或?qū)懗? 3)離散型隨機變量分布律的性質(zhì) : .1)2(1????kkp 。,2,1,0)1( ??? kp k2111 1 1 12 2 4 2 4 2 4k kk p???? ? ? ? ? ?? ? ??211 1 1 1( 1 )2 4 4 4 k ?? ? ? ? ? ?1 1 22 1 1 4 3? ? ??1.?二、舉例 例 1：設(shè)隨機變量 X 的分布律為 ? ? ? ?1 4 , ( 1 , 2, ) ,nP X n c n? ? ?．試求常數(shù) c解 ： 由分布律的性質(zhì)，得 ? ? ? ?111 1 4 nnnP X n c????? ? ???該級數(shù)為等比級數(shù)，故有 ? ?11 1 4 nnc??? ? 141 1 4 3cc? ? ??所以 ．3?c例 2：從 1～ 10這 10個數(shù)字中隨機取出 5個數(shù)字 ,令 X：取出的 5個數(shù)字中的最大值．試求 X的分布律． 具體寫出，即可得 X 的分布律： X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解： X 的可能取值為 5， 6， 7， 8， 9， 10． 并且 ? ?kXP ? .1065 ， ??k510C4 1?kC=—— 求分布律一定要說明 k 的取值范圍！ 例 ， 直到命中為止 ，已知他每發(fā)命中的概率是 p， 求 所需射擊發(fā)數(shù) X 的概率函數(shù) . 解 : 顯然， X 可能取的值是 1,2,… ， 為計算 P(X =k )， k = 1,2, … ， Ak = {第 k發(fā)命中 }， k =1, 2, … ， 設(shè) P(X=1)=P(A1)=p, 于是 pp ??? )1()()2( 21 AAPXP ??)()3( 321 AAAPXP ?? pp ??? 2)1( ????,2,1?kppkXPk ???? ? 1)1()(可見 這就是求 所需射擊發(fā)數(shù) X的概率函數(shù) . 解 : 顯然， X 可能取的值是 1,2,… ， 為計算 P(X =k )， k = 1,2, … ， Ak = {第 k發(fā)命中 }， k =1, 2, … ， 設(shè) 若隨機變量 X的概率函數(shù)如上式 ， 則稱X具有 幾何分布 . 不難驗證 : 1111 ???????kk p)p(??,2,1?kppkXP k ???? ? 1)1()(說明 ：幾何分布可作為描述某個試驗“ 首次成 功 ”的概率模型。 n重 Bernoulli 試驗的 特點： 1) 每次試驗的可能結(jié)果只有兩個 A 或 ,ApAPpAP ??? 1)(,)(且3) 各次試驗的結(jié)果相互獨立， 2） 在各次試驗中 p是常數(shù)，保持不變 , 實例 1 拋一顆骰子 n次 ,觀察是否 “ 出現(xiàn) 1 點 ” , 就 是 n重伯努利試驗 . 設(shè)在 n 重 Bernoulli 試驗中， ? ? ? ? .1 qpAPpAP ???? ，? ?nkkABe r n ou l l inkX,2,1,0}{???? 次恰好發(fā)生試驗中事件重
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