【正文】 t is the probability of choosing a) a white ball? (event A) b) two red balls? (event B) c) a white ball and three red balls? (event C) ? Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7 Check your understanding!! What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? (★ ) There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. (★ ★ ) A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? (★ ★★ ) There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? (★ ★★★ ) The set A has elements of a1, a2, a3, a4, …..,a 10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) (★★★★★ ) LETS FIND OUT THE ANSWERS!! Answer Key Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 There are 36 outes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S)). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A)). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of { a4, a5, a6… .a10 }, and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of { a4, a5, a6… .a10 }. Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8 First number Second number 1 2,3,4,5,6 2 3,4,5,6 3, 4,5,6 4 5,6 5 6 6 課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 概率的定義與性質(zhì) 概率的公理化定義 概率的基本性質(zhì) 概率的公理化定義 前面分別介紹了統(tǒng)計(jì)概率定義、古典概率及幾何概率的定義，它們?cè)诮鉀Q各自相適應(yīng)的實(shí)際問題中，都起著很重要的作用，但它們各自都有一定局限性 . 為了克服這些局限性， 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 柯爾莫哥落夫在綜合前人成果的基礎(chǔ)上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定義，為現(xiàn)代概率 論的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ) . 概率的公理化的定義 : (3)可列可加性 : 設(shè) nAAA ?, 21 ???????? ???? 11)(i ii iAPAP ?? ? 1??P(2)規(guī)范性 (1)非負(fù)性 ? ??? P0? 兩兩互不相容． 設(shè) ? 是給定的實(shí)驗(yàn) E的樣本空間，對(duì)其中的任意一 事件 A，規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若 P(A)滿足： 則 則稱 P(A)為 事件 A的概率 . 概率的公理化定義 (1)P(φ)=0 ， P(Ω)=1 ，逆不一定成立 . (2)若 AB=φ, 則 P(A+B)=P(A)+P(B),可推廣 到有限個(gè)互斥事件的情形 .即 :若 A1,A2,… ,An兩兩互斥 ,則 P(A1+A2+… +An)=P(A1)+P(A2)+… +P(An) (3)P(AB)=P(A)P(AB),P(Ω A)=1P(A). 若 A是 B的子事件 ,則 P(BA)=P(B)P(A)； P(A)≤P(B)。 所以， P（ ） == B解 : 由 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B) 思考 : 在以上條件下， P（ AB） =？ 例 設(shè)事件 A發(fā)生的概率是 ， A與 B都發(fā)生的 概率是 ， A與 B都不發(fā)生的概率為 ,求 :A發(fā)生 B不發(fā)生的概率； B發(fā)生 A不發(fā)生的概率及 P(A+B). 解 : 由已知得 ,P(A)=， P(AB)=, P( )=， BA則 P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB)= P(BA)=P(B)P(AB） P（ A+B） =1P（ ） =1P == 又因?yàn)?P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB),所以， P(B)=P(A+B)P(A)+P(AB)=+= 從而， P(BA)== __BA______BA? )BA( __1. P(A)=， P(B)=， P(A+B)=,求 P(AB). 2. P(A)=， P(AB)=，求 P(Ω AB) 解答 :(1)P(AB)=P(A)+P(B) P(A+B) =, 所以 P(AB)=P(A)P(AB)= (2)P(Ω AB)=1P(AB)=1[P(A)P(AB)] =+= 課堂練習(xí) 3. A、 B都出現(xiàn)的概率與 A、 B 都不出現(xiàn)的概率相等，P(A)=p，求 P(B). 解答 CBA所以 ,P(B)=1P(A)=1p )(1)()()()()()(APAPBAPBAPBAPABPBP???????4．某系一年級(jí)有 l00名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們考試的成績(jī)： 政治、數(shù)學(xué)、物理、英語四門課程得優(yōu)等成績(jī)的人數(shù) 分別依次為 85， 75 70， ：這四門課程全優(yōu)的 學(xué)生至少有 10人 . 證明： 見書 12頁例 .（略） 課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計(jì)課程組 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 條件概率 引例 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 乘法公式 全概率公式 貝葉斯 Bayes公式 在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到求 ： 在事件 B已經(jīng)出現(xiàn)的條件下，事件 A發(fā)生的概率，記作 P(A|B). 由于附加了條件， P(A)與 P(A|B)意義不同，一般 P(A|B) ≠ P(A) 先看一個(gè)例子 引例 ： 擲一顆均勻骰子 B={擲出偶數(shù)點(diǎn) }， P(A|B)=？ 擲骰子 由于已知事件 B已經(jīng)發(fā)生，所以此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果只有 3種，而事件 A包含的基本事件只占其中一種，故有 P(A|B)= 1/3 A={擲出 2點(diǎn) }， 解： 擲一顆均勻骰子 可能的結(jié)果有 6種，且它們的出現(xiàn)是等可能的。 由于信道中存在干擾 ， 在發(fā) 0的時(shí)候 ， 接收端分別以概率 、 為 0、 1和 “ 不清 ” 。 現(xiàn)接收端接收到一個(gè) “ 1”的信號(hào) 。 推論 1: ,若 P(A)0, 則 A與 B獨(dú)立等價(jià)于 P(B|A)=P(B). 若 P(B)0, 則 A與 B獨(dú)立等價(jià)于 P(A|B)=P(A). 證明： =P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) =P(B|A)=P(B) 注意 :從直觀上講 ,A與 B獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受另一個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響 . 證明 不妨設(shè) ,則 )B(P)A(P))B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P?????????其他類似可證 . 推論 2:在 A與 B, 與 B,A與 ，與 這四對(duì)事件中 , 若有一對(duì)獨(dú)立 ,則另外三對(duì)也相互獨(dú)立。 ② 由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷 . 例 某高校的一項(xiàng)調(diào)查表明：該校有 30%的學(xué)生 視力有缺陷 . 7%的學(xué)生聽力有缺陷， 3%的學(xué)生視力與聽力都有缺陷，記 A =“學(xué)生視力有缺陷 ” ， )( ?APB =“學(xué)生聽力有缺陷 ” ， )( ?BPAB=“學(xué)生聽力與視力都有缺陷 ” ， )( ?ABP現(xiàn)在來研究下面三個(gè)問題： （ 1）事件 A與 B 是否獨(dú)立？ 由于 ???? 0 2 )()( BPAP )( ABP所以事件 A與 B 不獨(dú)立，即該校學(xué)生視力與聽力 缺陷有關(guān)聯(lián) . （ 2）如果已知一學(xué)生視力有缺陷，那么他聽力也有缺 陷的概率是多少？ 這要求計(jì)算條件概率 )( ABP ,由定義知 101)()()( ???APABPABP（ 3）如果已知一學(xué)生聽力有缺陷，那么他視力也有