【正文】 期氣象紀(jì)錄，甲乙兩城市一年中 雨天的比例分別為 20%和 18%,同時(shí)下雨的 比例為 12%。 則 P(A)=,P(B)=,P(AB)=,于是 32)()()|( ?????BPABPBAP)()()|( ?????APABPABP顯然，兩城市氣候有一定的相關(guān)性。 解：以 Ai 表示事件“第 i次取到黑球” (i=1,2,3), 211 )|()|()()( 213121321??????????babbabbaaAAAPAAPAPAAAP(三 ) 全概率公式和貝葉斯公式 : : : 21 一組事件滿足若定義 n, B, , BB ?1. 樣本空間的劃分 , . . . , n , j , i , j, iB B ji 21 ( i ) ??? ?Ω,Bnii ???1 ( ii).B ,B , n21的一個(gè)劃分本空間為樣則稱??B2. 全概率公式 : 有的任一事件對分的一個(gè)劃為設(shè),E ,21(0, , , n21A, n ), , i)P ( BΩB, BBi ????.)B|) P ( AP ( B)(n1iii???AP稱上式為 全概率公式 . ,)()(1???nii ABPAP再利用乘法定理即得 P(A) ???niA1i )P ( B.)B|) P ( AP ( Bn1iii???j ) .(i )()( ?? ?ji ABAB ?并且由概率的有限可加性 ,得 ?? AA由于分析： ,)(11??niinii ABBA????例 1. 某電子設(shè)備廠所用的晶體管是由三家元件 制造 廠提供的 ,數(shù)據(jù)如下 : 元件制造廠 次品率 提供的份額 1 2 3 任取一只晶體管 , 若它是次品的概率是多少？ 的一個(gè)劃分構(gòu)成樣本空間則家工廠生產(chǎn)的所取產(chǎn)品是由第??321 iB,B,B 1 , 2 , 3 .i ,i B 解：Ａ－取到的是一只次品 元件制造廠 次品率 提供的份額 1 2 3 運(yùn)用全 概率公式可得 .)B|) P ( AP ( B)(31iii???AP???????例 2 某產(chǎn)品整箱出售每箱 20個(gè)，各箱有 0， 1， 2個(gè) 次品的概率分別為 ,。 解：以 Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有 j個(gè)次品” (j=0,1, 2),則 Bj構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分 .A表示“顧客買下 該箱產(chǎn)品”，則有 2,1,0 ,)|( 420420 ?? ? iCCBAP jj有全概率公式可得 ???20)|()()(jjj BAPBPAP 420422042041204204020 ??????? ???CCCCCC練習(xí) : 甲箱中裝有 3只紅球和 2只白球 ,乙箱中 2只 紅球和 2白球 ,從甲箱中取兩只球放入乙箱中 ,再 從乙箱中取 1球 ,求 A:“從乙箱取得白球”的概率 . 解 設(shè) Bi={從甲箱中取出 i只白球 }i=0,1, B0, B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。 事件 A是結(jié)果， A的發(fā)生是由第 i個(gè)原因引起的 概率 P(Bi|A)通常稱 為 后驗(yàn)概率 。 發(fā)送 0收到 0,1的概率為 ,。 解： A—接收信號為 1 )()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP??4127 ??????公式可得運(yùn)用一劃分。 獨(dú)立性 條件概率 .P ( A )P ( A B )A)|P ( B ?一般地 , P(B|A)≠P(B). 但當(dāng) A的發(fā)生對 B的發(fā)生沒有影響時(shí) ,有 P(B|A)=P(B), 由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 例 1 設(shè)袋中有 a只紅球和 b只白球 (b≠0),今從袋 中取兩次球 ,每次各取一球 ,分為放回和不放回 兩種情況 . 記 : A,B分別表示“第一，二次取得的是紅球” , 2. 有放回時(shí) : P ( B ) ,ba a)|( ???ABPP ( B ) ,1ba 1aA)|P ( B ????? ba a1. 不放回時(shí) : P ( A ) P ( B ) .P ( A B ) ?即定義 1: 設(shè) A,B是兩事件 ,如果滿足等式 P(AB)=P(A)P(B), 則稱 事件 A與事件 B是相互獨(dú)立的事件 . 注 ：必然事件 ?和不可能事件 ?與任何事 件 A都獨(dú)立 定理 ：如果事件 A,B相互獨(dú)立，且 P(B)0,則 P(A|B)=P(A) 證： 由條件概率及上式定義得 ).()()()()()()|( APBPBPAPBPABPBAP ???.BA B,A ,B,B A,也相互獨(dú)立與與與則相互獨(dú)立獨(dú)立擴(kuò)張定理：若 AAAB , ABABA )1(: ?? 且證明 ??? )BP ( A P ( A B )P ( A ) ?P ( A ) P ( B )P ( A ) ??P ( B ) )P ( A ) ( 1 ?).BP ( A ) P (?.BA 相互獨(dú)立與故例 2 甲、乙兩射手向同一目標(biāo)各射擊一次 ,甲 擊中目標(biāo)的概率為 ，乙擊中目標(biāo)的概率為 ，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。 例 3 一均勻正四面體 , 其一、二、三面分別染 成紅白黑三色 , 第四面染上紅白黑三色 .現(xiàn)以分 別 A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的 事件 , 則由于四面體中有兩面有紅色 , 因此 P(A)=1/2 但是 P(ABC)=1/4?1/8=P(A)P(B)P(C) A,B,C不是相互獨(dú)立的 . 同理 P(B)=P(C)=1/2,容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以 A,B,C兩兩獨(dú)立 . 例 4 假若每個(gè)人血清中有肝炎病毒的概率為 %,混合 100個(gè)人的血清，求此血清中含有 肝炎病毒的概率 . 解：以 Ai(i=1,2,…100) 記“第 i個(gè)人的血清含有 肝炎病毒” ,顯然 Ai相互獨(dú)立的 .所求概率為 )(1)( 100211001 AAAPAAP ???? ??雖然每個(gè)人血清中有病毒的概率很小 ,但是多 個(gè)人的血清混合后有病毒的概率很大 . 9 )()(1 1001001 ????? APAP ?例 5 設(shè)有 4個(gè)元件 ,每個(gè)元件的可靠性均為 p(元 件能正常工作的概率 ), 按如下兩種方式組成系 統(tǒng) , 試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性 . 系統(tǒng)二 :先并聯(lián)后串聯(lián) 系統(tǒng)一 :先串聯(lián)后并聯(lián) 解 : 用 Ai, Bi, 表示如圖中諸元件能正常工作 的事件 , i=1, 2. C1, C2表示系統(tǒng) 1,2正常工作 . C1=(A1A2)∪ (B1B2) C2=(A1∪ B1) (A2∪ B2) 于是 P(C1)=P(A1A2)+P(B1B2)P(A1A2B1B2) =p2+p2p4=p2(2p2), P(C2)=P(A1∪ B1)P (A2∪ B2) =(p+pp2 )2=p2(2p)2, 練習(xí) 1 某高射炮打飛機(jī)命中率為 , 為了以 99%以上的概率命中目標(biāo)，應(yīng)配備多少門大炮？ ).(.16/9)(,0)(,2/1)()()( .1APCBAPABCPCBACPBPAP求兩兩獨(dú)立，且???????)./(,6/1)/(,3/1)()(.2 BAPBAPBPAP 求設(shè) ???3. 袋子中有編號 110十個(gè)球，從中任取一個(gè)若不是 “ 2”號球則放回，若是不放回。 隨機(jī)變量的概念 例 1 從一批產(chǎn)品中任意抽取 k件 ,觀察出現(xiàn)的 “廢品數(shù)” X1,依試驗(yàn)結(jié)果不同 X1的所有可能 取值為 :0,1,2,…, +1個(gè)結(jié)果可用 (X1=j)表示 . 例 2 記錄某接待站一天中來訪的人數(shù) X2, “接待 k個(gè)人”可用 (X2=k)表示 . 例 4 擲一枚硬幣觀察正反面 .試驗(yàn)結(jié)果為 : ?1={正面 }, ?２ ={反面 }.試驗(yàn)的結(jié)果可以用 變量 X4 表示． ???????2144 ,0,1)(????當(dāng)當(dāng)ωXX例 3 測試電子元件壽命的試驗(yàn)中 ,“元件壽命 為 t小時(shí)”可以用 (X3=t) 來表示 . 定義２ .1 如果對于樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn) ? ，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) X(?)與之對應(yīng)，則稱 X(?)為 隨機(jī)變量 ．簡記 X(?)為 X. “廢品數(shù)大于 10”可用 (X１ 10)表示， “元件壽命在 100到 200 小時(shí)之間表示為 (100X3?200) 隨機(jī)變量分類： (1) 離散型， (2)連續(xù)型 . 167。說明已知例8721)3()3(30???? ??? nnFXP解41 211 )03(1)3(21?????????nnFXP167。 分布律的性質(zhì)： .1 ( 2 ) , . . .210 ( 1 )1??????kkkp, kp或列表 例 1. 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過 四盞信號燈 ,每盞信號燈以概率 p禁止汽車通 過 , 以 X表示汽車首次停下時(shí)已通過信號燈的 盞數(shù) , 求 X的分布律。 解 : X 0 1 2 3 4 pk 即 P{X=k}=(1p)kp, k=0,1,2,3. (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4 P{X=4}=(1p)4 p .),2,1,0(31)(X 2ankaCkXP kknn試確定常數(shù)的分布律為設(shè)例??????? ?? ????nknkkknn aCkXP0 0 31)(1 : 由分布律的性質(zhì)可得解.2 ?a故????nkknkknaC0)31()3( na )313( ??若離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 ),1 , 2( )( ???? kpxXP kk則 X的分布函數(shù)為 ?????????xxxxk)x( ))x(()x()x(kkXPXPXPFk????xx k)x( kpF即例 3. 離散型 ., 已知分布律求其分布函數(shù) . X 1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求： X的分布函數(shù) , 并求 P{ X≤1/2}, P{3/2X≤5/2}. ?????? }{)( xXPxF ??1x ,0 ??2x1 ,4/1 ???3x2 ,4/32/14/1 ????3x ,14/12/14/1 ????P{X ≤1/2} =F(1/2) P{X≤1/2}=P{X=1}=1/4, =1/4 或由分布律 直接得 P{3/2X≤5/2} =F(5/2)F(3/2)=1/2. ：