概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第29講-資料下載頁
2025-01-19 22:19本頁面
【正文】 ? ????其它，,01),(1)(niix xeLi ?????? i=1,2,…, n ????niixn11 ?????? nL ??? ),(ln=0 (2) 由 (1)得 ???????? niixnL12 )(1),(ln ??????=0 (1) 對 分別求偏導(dǎo)并令其為 0, ,? ?對數(shù)似然函數(shù)為 ??????niixnL1)(1ln),(ln ?????用求導(dǎo)方法無法最終確定 用極大似然原則來求 . 、? ,?是 ini x??? 1* m in?對 ,0),(,m in ?? ??? Lx i???????????其它,0m i n,1),(1)(12??????ixxeLnii故使 達(dá)到最大的 即 的 MLE， ),( ??L?,?????niixn1** 1 ??于是 取其它值時， .0),( ???L?即 為 的 MLE . **,?? ??,且是 的增函數(shù) ?極大似然估計(jì)的一個性質(zhì) 可證明極大似然估計(jì)具有下述性質(zhì)： 設(shè) 的函數(shù) g=g( )是 上的實(shí)值函數(shù) , 且有唯一反函數(shù) . 如果 是 的 MLE，則 g( )也是 g( )的極大似然估計(jì) . ? ???????? 例 8 一罐中裝有白球和黑球，有放回地抽取一個容量為 n的樣本，其中有 k 個白球，求罐中黑球與白球之比 R 的極大似然估計(jì) . n,1,i ,0,1 ??????取到黑球取到白球iX解 : 設(shè) X1,X2,…, Xn為所取樣本， 則 X1,X2,…, Xn是取自 B(1,p)的樣本， p是每次抽取時取到白球的概率， p未知 . 先求 p的 MLE： nkp ??p的 MLE為 ppR??1? ??1??kn在前面例 4中 ,我們已求得 由前述極大似然估計(jì)的性質(zhì)不難求得 ppR ?? 1 的 MLE是 第二次捕出的有記號的魚數(shù) X是 , X具有超幾何分布： ,}{????????????????????????????SNkSrNkrkXP為了估計(jì)湖中的魚數(shù) N，第一次捕上 r條魚， 做上記號后放回 . 隔一段時間后 , 再捕出 S 條魚 , 結(jié)果發(fā)現(xiàn)這 S條魚中有 k條標(biāo)有記號 . 根據(jù)這個信息，如何估計(jì)湖中的魚數(shù)呢？ 最后，我們用極大似然法估計(jì)湖中的魚數(shù) ),m in (0 rSk ??應(yīng)取使 L(N。k)達(dá)到最大的 N， 作為 N的極大似然估計(jì) . 但用對 N求導(dǎo)的方法相當(dāng)困難 , 我們考慮比值 ： )1。()。(???NkXPNkXP把上式右端看作 N的函數(shù)，記作 L(N。k) . ????????????????????????????SNkSrNkrkXP }{)())((kSrNNrNSN??????經(jīng)過簡單的計(jì)算知，這個比值大于或小于 1， kSrN ?或 kSrN ?而定 . 由 )1。()。(???NkXPNkXP)())((kSrNNrNSN??????經(jīng)過簡單的計(jì)算知，這個比值大于或小于 1， kSrN ?或 kSrN ?而定 . 由 這就是說，當(dāng) N增大時，序列 P(X=k。N) 先是上升而后下降 。 當(dāng) N為小于 的最 大整數(shù)時 , 達(dá)到最大值 . 故 N的極大似然 估計(jì)為 ].[? kSrN ?kSr 請看演示 捕魚問題 這一講，我們介紹了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)，討論了估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則 . 給出了尋求估計(jì)量最常用的矩法和極大似然法 . 參數(shù)點(diǎn)估計(jì)是用一個確定的值去估計(jì)未 知的參數(shù) . 看來似乎精確，實(shí)際上把握不大 . 為了使估計(jì)的結(jié)論更可信，需要引入?yún)^(qū)間估計(jì) . 這是下一講的內(nèi)容 .
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