概率論與數(shù)理統(tǒng)計第29講(編輯修改稿)
2025-02-15 22:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 令 X?? ??????nii XXn122 )(1?用樣本矩估計 總體矩 即 E(X)= ?? ?2? D(X)= 矩法的優(yōu)點是簡單易行 ,并不需要事先知道總體是什么分布 . 缺點是 ， 當總體類型已知時 ， 沒有 充分利用分布提供的信息 . 一般場合下 , 矩估計量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性 . 稍事休息 2. 極大似然法 是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法 . 它首先是由德國數(shù)學家 高斯 在 1821年提出的 , Gauss Fisher 然而，這個方法常歸功于 英國統(tǒng)計學家 費歇 . 費歇 在 1922年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì) . 極大似然法的基本思想 先看一個簡單例子： 一只野兔從前方竄過 . 是誰打中的呢？ 某位同學與一位獵人一起外出打獵 . 如果要你推測， 你會如何想呢 ? 只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 . 下面我們再看一個例子 ,進一步體會極大似然法的基本思想 . 你就會想，只發(fā)一槍便打中 ,獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率 . 看來這一槍是獵人射中的 . 這個例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想 . 例 4 設 X~B(1,p), p未知 .設想我們事先知道 p只有兩種可能 : 問 :應如何估計 p? p= 或 p= 如今重復試驗 3次 ,得結(jié)果 : 0 , 0, 0 由概率論的知識 , 3次試驗中出現(xiàn)“ 1”的次數(shù) ),3(~ pBYk=0,1,2,3 knk ppkkYP ???????????? )1(3)( 將計算結(jié)果列表如下： 應如何估計 p? p= 或 p= kk ppkkYP ???????????? 3)1(3)(k=0,1,2,3 p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 出現(xiàn) 估計 出現(xiàn) 出現(xiàn) 出現(xiàn) 估計 估計 估計 如果有 p1,p2,…, pm可供選擇 , 又如何合理地選 p呢 ? 從中選取使 Qi 最大的 pi 作為 p的估計 . )。()。( 0 ii pkYPpkYP ???i=1,2,…, m 則估計參數(shù) p為 0? ipp ?0ipp ?時 Qi 最大 , 比方說 ,當 若重復進行試驗 n次 ,結(jié)果“ 1”出現(xiàn) k次 (0 ≤ k≤ n), 我們計算一切可能的 P(Y=k。 pi )=Qi ， i=1,2,…, m 如果只知道 0p1,并且實測記錄是 Y=k (0 ≤ k≤ n),又應如何估計 p呢 ? 注意到 knk ppknpkYP ???????????? )1()。(是 p的函數(shù) ,可用求導的方法找到使 f (p)達到 極大值的 p . 但因 f (p)與 lnf (p)達到極大值的自變量相同 ,故問題可轉(zhuǎn)化為求 lnf (p)的極大值點 . =f (p) nkp ??將 ln f (p)對 p求導并令其為 0, 這時 , 對一切 0p1,均有 )。()?。( pkYPpkYP ???從中解得 pknpkdppfd????1)(ln =0 便得 p(nk)=k(1p) )1l n ()(lnln)(ln pknpkknpf ????????????? 以上這種 選擇一個參數(shù)使得實驗結(jié)果具有最大概率 的思想就是極大似然法的基本思想 . 這時 ,對一切 0p1,均有 )。()?。( pkYPpkYP ???則估計參數(shù) p為 nkp ?? 極大似然估計原理： 當給定樣本 X1,X2,… Xn時，定義 似然函數(shù) 為： 設 X1,X2,… Xn是取自總體 X的一個樣本，樣本的聯(lián)合密度 (連續(xù)型）或聯(lián)合概率函數(shù)(離散型 )為 f (X1,X2,… Xn。 ) . ??)(?Lf (X1,X2,… Xn。 ) ? 似然函
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