概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第29講(編輯修改稿)
2025-02-15 22:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 令 X?? ??????nii XXn122 )(1?用樣本矩估計(jì) 總體矩 即 E(X)= ?? ?2? D(X)= 矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行 ,并不需要事先知道總體是什么分布 . 缺點(diǎn)是 ， 當(dāng)總體類型已知時(shí) ， 沒有 充分利用分布提供的信息 . 一般場(chǎng)合下 , 矩估計(jì)量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性 . 稍事休息 2. 極大似然法 是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 . 它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家 高斯 在 1821年提出的 , Gauss Fisher 然而，這個(gè)方法常歸功于 英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 費(fèi)歇 . 費(fèi)歇 在 1922年重新發(fā)現(xiàn)了 這一方法，并首先研究了這 種方法的一些性質(zhì) . 極大似然法的基本思想 先看一個(gè)簡(jiǎn)單例子： 一只野兔從前方竄過(guò) . 是誰(shuí)打中的呢？ 某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵 . 如果要你推測(cè)， 你會(huì)如何想呢 ? 只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 . 下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子 ,進(jìn)一步體會(huì)極大似然法的基本思想 . 你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中 ,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率 . 看來(lái)這一槍是獵人射中的 . 這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想 . 例 4 設(shè) X~B(1,p), p未知 .設(shè)想我們事先知道 p只有兩種可能 : 問 :應(yīng)如何估計(jì) p? p= 或 p= 如今重復(fù)試驗(yàn) 3次 ,得結(jié)果 : 0 , 0, 0 由概率論的知識(shí) , 3次試驗(yàn)中出現(xiàn)“ 1”的次數(shù) ),3(~ pBYk=0,1,2,3 knk ppkkYP ???????????? )1(3)( 將計(jì)算結(jié)果列表如下： 應(yīng)如何估計(jì) p? p= 或 p= kk ppkkYP ???????????? 3)1(3)(k=0,1,2,3 p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 出現(xiàn) 估計(jì) 出現(xiàn) 出現(xiàn) 出現(xiàn) 估計(jì) 估計(jì) 估計(jì) 如果有 p1,p2,…, pm可供選擇 , 又如何合理地選 p呢 ? 從中選取使 Qi 最大的 pi 作為 p的估計(jì) . )。()。( 0 ii pkYPpkYP ???i=1,2,…, m 則估計(jì)參數(shù) p為 0? ipp ?0ipp ?時(shí) Qi 最大 , 比方說(shuō) ,當(dāng) 若重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn) n次 ,結(jié)果“ 1”出現(xiàn) k次 (0 ≤ k≤ n), 我們計(jì)算一切可能的 P(Y=k。 pi )=Qi ， i=1,2,…, m 如果只知道 0p1,并且實(shí)測(cè)記錄是 Y=k (0 ≤ k≤ n),又應(yīng)如何估計(jì) p呢 ? 注意到 knk ppknpkYP ???????????? )1()。(是 p的函數(shù) ,可用求導(dǎo)的方法找到使 f (p)達(dá)到 極大值的 p . 但因 f (p)與 lnf (p)達(dá)到極大值的自變量相同 ,故問題可轉(zhuǎn)化為求 lnf (p)的極大值點(diǎn) . =f (p) nkp ??將 ln f (p)對(duì) p求導(dǎo)并令其為 0, 這時(shí) , 對(duì)一切 0p1,均有 )。()?。( pkYPpkYP ???從中解得 pknpkdppfd????1)(ln =0 便得 p(nk)=k(1p) )1l n ()(lnln)(ln pknpkknpf ????????????? 以上這種 選擇一個(gè)參數(shù)使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有最大概率 的思想就是極大似然法的基本思想 . 這時(shí) ,對(duì)一切 0p1,均有 )。()?。( pkYPpkYP ???則估計(jì)參數(shù) p為 nkp ?? 極大似然估計(jì)原理： 當(dāng)給定樣本 X1,X2,… Xn時(shí)，定義 似然函數(shù) 為： 設(shè) X1,X2,… Xn是取自總體 X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度 (連續(xù)型）或聯(lián)合概率函數(shù)(離散型 )為 f (X1,X2,… Xn。 ) . ??)(?Lf (X1,X2,… Xn。 ) ? 似然函
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