【正文】 如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是 7:00到 7:30之 間的均勻隨機(jī)變量 , 試求他候車時(shí)間少于 5分鐘的 概率 . 解 以 7:00為起點(diǎn) 0, 以分為單位 , 依題意 ~X ),30,0(U????? ???其它,0300,301)( xxf 69 信息管理學(xué)院 徐曄 解 以 7:00 為起點(diǎn) 0, 以分為單位 , 依題意 ~X ),30,0(U????? ???其它,0300,301)( xxf為使候車時(shí)間少于 5 分鐘 , 乘客必須在 7:10 到 7:15 之間 , 或在 7:25 到 7:30 之間到達(dá)車站 , 故所 求概率為 }3025{}1510{ ????? XPXP31301301 30251510 ??? ?? dxdx即乘客候車時(shí)間少于 5分鐘的概率是 1/3. 70 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 [ 2, 5 ]上服從均勻分布 , 現(xiàn) 對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值 大于 3 的概率 . X 的分布密度函數(shù)為 ????? ???.,0,52,31)(其他xxf { X 3 } 表示“對(duì) X 的觀測(cè)值大于 3 的概率” , 解 }2{ ?YP .2720?因而有 設(shè) Y 表示 3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于 3的次數(shù) , 則 .32,3~ ??????BY?????? ???????? 32132223C0333 32132 ?????? ???????? C,32d31}3{ 53 ??? ? xXP由于 71 信息管理學(xué)院 徐曄 X的密度函數(shù)為 )(~ ?EX記為則稱 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布 ?為常數(shù)0000)( ??????? ? ?? ?xxexf xO x?)( xf)(xf 的幾何圖形如圖 . 注： 指數(shù)分布常用來(lái)描述對(duì)某 一事件發(fā)生的等待時(shí)間 .例如 ， 乘客在公交車站等車的時(shí)間，電子元件的壽命等， 因而它在可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用 . 72 信息管理學(xué)院 徐曄 ???????? ???? 0001)()(xxedttfxF xx ?指數(shù)分布的重要作用 ,是常用它來(lái)作為各種“壽命”的近似 ,如通訊、保險(xiǎn)、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)等方面 )(~,0 ?EXa ?設(shè) aeaF ????? )(1}{ aXP ?3. 分布 (略 ) ?易求得 X 的分布函數(shù) 為常數(shù)0000)( ??????? ? ?? ?xxexf x 73 信息管理學(xué)院 徐曄 例 4 某保險(xiǎn)公司想開(kāi)展一種新的壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)，被保險(xiǎn)人需一次性繳納保費(fèi) 1000元，若被保險(xiǎn)人在 10年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司將賠負(fù) 5000元，假設(shè)人的壽命服從參數(shù)為 1/65的指數(shù)分布 .試幫保險(xiǎn)公司做出決策 . 解 假設(shè)某人的壽命為 X 65/1)(~ ??? ，則 EX假設(shè)某人投保時(shí)年齡超過(guò) S歲 則此人再活 10年以上的概率為 }|10{ sXsXP ???}{}10{sXPsXsXP????? ?}{}10{sXPsXP????ssee??????)10( ?10?? e8 5 7 ? 74 信息管理學(xué)院 徐曄 因此，被保險(xiǎn)人在 10年內(nèi)死亡的概率為 }|10{1 sXsXP ???? 1 4 2 5 7 ???所以保險(xiǎn)公司對(duì)該被保險(xiǎn)人的預(yù)期收益為 *5000=287(元 ) 結(jié)論 :保險(xiǎn)公司可以開(kāi)展這種保險(xiǎn)業(yè)務(wù) . }|10{ sXsXP ??? ?10?? e }10{ ?? XP一般化 }|{ sXtsXP ??? ?te?? }{ tXP ??在已活 s年的基礎(chǔ)上 ,再活 t年的概率等于壽命大于 t年的概率 . 指數(shù)分布永遠(yuǎn)年輕 75 信息管理學(xué)院 徐曄 作業(yè) P63 練習(xí) 1 2 4 信息管理學(xué)院 徐曄 正態(tài)分布 一、正態(tài)分布 的 密度函數(shù)及其特點(diǎn) 二、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 三、一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 77 信息管理學(xué)院 徐曄 ).,(~,)0(,eπ21)(22)(22σμN(yùn)XσμXσσμxσxfXσμx記為的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為則稱為常數(shù)其中的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義??????????一、正態(tài)分布 的 密度函數(shù)及其特點(diǎn) 78 信息管理學(xué)院 徐曄 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征 。)1( ?? XPA 概率系數(shù)求：例 5 解 (1)因?yàn)榉植己瘮?shù)右連續(xù) ,且 0)3(,)1(lim)(lim 333????? ??FxAxFxx27?A所以}2{}5{}52{)2( ?????? XPXPXP)2()(lim 5 FxFx ?? ??12598052713 ????信息管理學(xué)院 徐曄 離散型隨機(jī)變量及其分布律 一、離散型隨機(jī)變量 的 分布律 二、離散型 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 23 信息管理學(xué)院 徐曄 定義 如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取得有限個(gè)或可數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量 . ??? , 21 nk xxxxX設(shè)離散型隨機(jī)變量 X其可能的取值為 ?,3,2,1}{ ??? ixXPp ii稱 為離散型隨機(jī)變量 X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律 一、離散型隨機(jī)變量 的 分布律 24 信息管理學(xué)院 徐曄 Xip1x 2x ? nx ?1p 2p ? np ?表格形式 分布列的性質(zhì)： ?,2,1,0)1( ?? kp i1)2( ??iip 25 信息管理學(xué)院 徐曄 概率直方圖 另外還可用圖形來(lái)表示分布律：線條圖、概率直方圖 . 0 1 2 線條圖 0 1 2 P X P X 0 1 2 X ip 26 信息管理學(xué)院 徐曄 例 1 袋中有 1個(gè)白球和 4個(gè)黑球，每次不放回地從中任取一個(gè)球，直至取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布 . 解 設(shè) X為取到白球時(shí)的取球次數(shù) X的可能取值為 1, 2, 3, 4, 5 不難求得 )1( ?XP 51 ?? )2( ?XP 4154 ???)3( ?XP 314354 ?? )4( ?XP 21324354 ??)5( ?XP 21324354 ??????因此 ,所求的概率分布為 XP1 2 3 4 5 27 信息管理學(xué)院 徐曄 Xip1x 2x ? nx ?1p 2p ? np ?則 X 的分布函數(shù)為 }{)( xXPxF ??即， ,0)( ?xF當(dāng) 21 xxx ?? 時(shí)， ,)( 1pxF ?}{ ixxxXPi???? ???xxiip1xx ? 時(shí)， 當(dāng) 當(dāng) 32 xxx ?? 時(shí)， ,)( 21 ppxF ????當(dāng) nn xxx ??? 1 時(shí)， ??? ,)( 121 ????? npppxF二、離散型 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 28 信息管理學(xué)院 徐曄 如圖， )(xF 是一個(gè)階 它在 ixx ?),2,1( ??i 有跳躍， }.{ ii xXPp ?? 反之， 若一個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布函 則 X 一定是一個(gè)離散型隨機(jī)變量， 其概率分布亦由 分布亦由 )(xF 唯一確定 . 梯函數(shù)， 跳躍度恰為隨機(jī)變量 ixx ? 點(diǎn)處的概率 X 在 數(shù)， 數(shù)為階梯函 )( xFxO 2x1x 3x ......1p3p2p當(dāng) nn xxx ??? 1 時(shí)， ??? ,)( 121 ????? npppxF 29 信息管理學(xué)院 徐曄 例 2 設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過(guò) . 以 X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X的分布律 . (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的 ). P{X=3}=(1p)3p 30 信息管理學(xué)院 徐曄 解 以 p表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過(guò)的概率，則X的分布律為： pk p 或?qū)懗? P{X= k} = (1 p)kp， k = 0,1,2,3 0 1 2 3 4 (1p) p (1p)2p (1p)3p (1p)4 X P{X= 4} = (1p)4 31 信息管理學(xué)院 徐曄 以 p = 1/2代入得 X的分布律： X pk 0 1 2 3 4 ??????????????????????41439 3 7 00)(xxxxxxxFX的分布函數(shù)為 分布函數(shù)是累計(jì)概率 32 信息管理學(xué)院 徐曄 例 3 有人對(duì)隨機(jī)變量 X的分布列表述如下 : 10210 2aaaPX 1 0 1 2 3 求 . a解 根據(jù)概率分布的性質(zhì) 0?a 151????iip且所以 1022