【導(dǎo)讀】根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個方面的訓(xùn)練：。的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本。的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)。過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯。的、間接的、復(fù)雜的。的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。這個方程指明兩個數(shù)的和為2，這兩個數(shù)的積為3?。.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。求證a、b、c三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。極大的障礙，必須加以克服。取最大值，最大值為29. y這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。

　　

【正文】 即 .1|| ? 分析 3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點(diǎn)。 證法 3 ,1,1 22 Rz zRzz ?????即 .11 Rzzzzzz ?????? 從而必有 .1||.1 ???? zzz 簡評 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代 入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會的關(guān)鍵之處。證法 3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。 例 5 由圓 922 ??yx 外一點(diǎn) )12,5(P 引圓的割線交圓于 BA、 兩點(diǎn)，求弦 AB的中點(diǎn) M 的軌跡方程。 分析 1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。 解法 1 如圖 4－ 2－ 3，設(shè)弦 AB 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( yxM ，連接 OMOP、 ， 則 ABOM? ，在 OMP? 中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有 .1 6 9)12()5( 2222 ?????? yxyx 整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的 曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。 解法 2 因?yàn)?M 是 AB 的中點(diǎn)，所以 ABOM? ， 所以點(diǎn) M 的軌跡是以 ||OP 為直徑的圓，圓心為 )6,25( , 半徑為 ?? ,2132 || OP 該圓的方程為： 222 )213()6()25( ???? yx 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 化簡，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題。因?yàn)閯狱c(diǎn) M 可看作直線 OM 與割線 PM 的交點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。 解法 3 設(shè)過 P 點(diǎn)的割線的斜率為 ,k 則過 P 點(diǎn)的割線方程為：)5(12 ??? xky . ? ABOM? 且過原點(diǎn)， OM? 的方程為 .1xky ?? 這兩條直線的交點(diǎn)就是M 點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去 ,k 化簡，得： .012522 ???? yxyx 其中.33 ??? x 分析 4 （參數(shù)法）將動點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動點(diǎn) M 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點(diǎn) M 的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。 解法 4 設(shè)過 P 點(diǎn)的割線方程為： )5(12 ??? xky 它與圓 922 ??yx 的兩個交點(diǎn)為 BA、 ， AB 的中點(diǎn)為 M . 解方程組 ??? ?? ??? ,9 12)5(22 yxxky 利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得 M 點(diǎn)的軌跡方程為： .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 5 （代點(diǎn)法）根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問題。這里由于中點(diǎn) M 的坐標(biāo) ),( yx 與兩交點(diǎn) ),(),( 2211 yxByxA 、 通過中點(diǎn)公式聯(lián)系起來，又點(diǎn) 、 MP BA、構(gòu)成 4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。 解法 5 設(shè) ),(),(),( 2211 yxByxAyxM 則 .2,2 211 yyyxx ???? .9,9 22222121 ???? yxyx? 兩式相減，整理，得 .0))(())(( 21121212 ?????? yyyyxxxx 所以 ,21211212 yxyy xxxx yy ???????? 即為 AB 的斜率，而 AB 對斜率又可表示為 ,512xy?? ,512 yxxy ????? 化簡并整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法 3局限于曲線是圓的條件，而解法 5適用于一般的過定點(diǎn) P 且與二次曲線 C 交于 BA、兩點(diǎn)，求 AB 中點(diǎn) M 的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法 5通常利用 ABPM kk ? 可較簡捷地求出軌跡方程，比解法 4計算量要小，要簡捷得多。 二、《解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核》 數(shù)學(xué)解題的思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動。 對于數(shù)學(xué)解題思維過程， G . 波利亞提出了四個階段 *（見附錄），即弄清問題、擬定計劃、實(shí)現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個字加以概 括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。 第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。 第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。 第三階段：計劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。 第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。 數(shù)學(xué)解題的技巧 為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更 加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。 一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的。 基于這樣的認(rèn)識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。 一、 熟悉化策略 所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。 一般說來，對于題目的熟悉程度 ，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。 常用的途徑有： （一）、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型 ： 按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。 （二） 、 全方位、多角度分析題意 ： 對于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識。因此，根據(jù)自己的 知識和經(jīng)驗(yàn)，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。 （三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素 ： 數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。 數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。 二、簡單化策略 所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。 簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。 因此，在實(shí)際解題時，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。 解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有 : 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。 尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件： 在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的 綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。 因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。 分類考察討論： 在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。 簡單化已知條件： 有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已 知條件，甚至?xí)簳r撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。 恰當(dāng)分解結(jié)論： 有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個比較簡單的部分，以便各個擊破，解出原題。 三、直觀化策略 ： 所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。 （一）、圖表直觀： 有些數(shù)學(xué)題， 內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。 對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。 （二）、圖形直觀： 有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。 （三）、圖象直觀： 不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的 直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。 四、特殊化策略 所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。 五、一般化策略 所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個計算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時，要設(shè)法把特殊問題一般化，找出一個能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。 六、整體化策略 所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道 按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計算冗繁的題目時，要適時調(diào)整視角，把問題作為一個有機(jī)整體，從整體入手，對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。 七、間接化策略 所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場合甚至找不到解題依據(jù)的題目時，要隨時改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。 數(shù)學(xué)解題思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動 。 在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個階段： 第一階段是 審題 。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的準(zhǔn)備。 第二階段是 尋求解題途徑 。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計劃。 第三階段是 實(shí)施計劃 。將計劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié) 果。 第四階段是 檢查與總結(jié) 。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。 所以：第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。 第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。 第三階段的計劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動的重要組成部分。 第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué) 思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。 通過以下探索途徑來提高解題能力： （ 1） 研究問題的條件時，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。 （ 2） 清晰地理解情境中的各個元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。 （ 3） 深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個符號、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有 重要發(fā)現(xiàn)。 （ 4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到