【正文】 1237 ???? bb 所以必有21?b，此時當(dāng)21??y時， 2d （從而 d ）有最大值， 所以 22 )7(34 ??b ，解得 .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 例 10 求xxy 22 cos8sin2 ??的最小值 錯解 1 |c o ss in| 8c o s 8s in 22c o s 8s in 2 2222 xxxxxxy ?????? .16,.16|2s in| 16 m i n ???? yx 錯解 2 .261182221)c osc os 8()s ins in 2( 2222 ??????????? xxxxy 錯誤分析 在解法 1中， 16?y 的充要條件是 .1|2s in|c os8s in 222 ?? xxx 且 即 .1|sin|21|| ?? xtgx 且 這是自相矛盾的。 數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在： (1) 一題的多種解法 例如 已知復(fù)數(shù) z 滿足 1|| ?z ，求 || iz? 的最大值。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。除了證法 證法 5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。 證法 2 設(shè) , bzyayx ???? 則 .bazx ??? 于是，已知條件可化為： .0)(04)( 22 zyyxbabaabba ???????????? 所以 zyx 、 成等差數(shù)列。 分析 1 雖然所求函數(shù)的結(jié) 構(gòu)式具有兩個字母 yx、 ，但已知條件恰有 yx、 的關(guān)系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。 此時， ,222 |100| ????d即 .22)( 22 ＝最小yx ? 所以 22 yx ? 的最小值為 .21 注 如果設(shè) ,22 zyx ?? 則問題還可轉(zhuǎn)化為直線 1??yx 與圓 zyx ?? 22 有交點(diǎn)時，半徑 z 的最小值。 證法 3 ,1,1 22 Rz zRzz ?????即 .11 Rzzzzzz ?????? 從而必有 .1||.1 ???? zzz 簡評 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代 入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。 解法 2 因?yàn)?M 是 AB 的中點(diǎn)，所以 ABOM? ， 所以點(diǎn) M 的軌跡是以 ||OP 為直徑的圓，圓心為 )6,25( , 半徑為 ?? ,2132 || OP 該圓的方程為： 222 )213()6()25( ???? yx 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 化簡，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題。這里由于中點(diǎn) M 的坐標(biāo) ),( yx 與兩交點(diǎn) ),(),( 2211 yxByxA 、 通過中點(diǎn)公式聯(lián)系起來，又點(diǎn) 、 MP BA、構(gòu)成 4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。 第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。 一般說來，對于題目的熟悉程度 ，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解。 數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。 分類考察討論： 在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。 對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。 數(shù)學(xué)解題思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動 。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。因?yàn)檫@意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。 第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué) 思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié) 果。 六、整體化策略 所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道 按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時，要適時調(diào)整視角，把問題作為一個有機(jī)整體，從整體入手，對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。 三、直觀化策略 ： 所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。 尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件： 在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的 綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。 （三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素 ： 數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。 基于這樣的認(rèn)識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。 對于數(shù)學(xué)解題思維過程， G . 波利亞提出了四個階段 *（見附錄），即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。 ),( yxP 1 1 O x y l 圖 4－ 2－ 2 證法 2 設(shè) ),(1 2 Raazz ???當(dāng) 0?a 時，可得 0?z 與 Rz? 條件不合， .0??a 則有 21 zza ??， .11, 22 zzzzaa ?????? 即 ).()()1()1( 22 zzzzzzzzzzzz ????????? 但 ,|| 2zzz ?? .0)||1)((,|||| 222 ?????????? zzzzzzzzz 而 .1||, 2 ???? zRzz 即 .1|| ? 分析 3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。 解法 4 如圖 4－ 2－ 2， 1??yx 表示直線 ,l 22 yx ? 表示原點(diǎn)到直線 l 上的點(diǎn) ),( yxP 的距離的平方。證法 3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。 證法 1 ? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz ,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222?????????????????????yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 故 zyyx ??? ，即 zyx 、 成等差數(shù)列。 y d 圖 4－ 2－ 1 O 證法 4 ,1,1 2222 ???? yxba? ?可設(shè) ? ???? c o s,s o s,s in ???? yxba ? ,1)c o s (c o sc o ss ins in ?????? ??????byax 分析 5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件 122 ??yx 可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1的單位圓，而 .22 babyaxbyax ???? 聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。 證法 1 )()11(21)(1 byaxbyax ??????? )()(21 2222 byaxyxba ?????? ,0])()[(21)]2()2[(21222222???????????ybxaybybxaxa 所以 .1??byax 分析 2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。即： 若 21?b ，則當(dāng) by ?? 時， 2d （從而 d ）有最大值。在推理過程中，必須y O x? ? ? x F? 例 8 （如圖 3－ 2－ 2），具有公共 y 軸的兩個直角坐標(biāo)平面 ?和 ? 所成的二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 .已知 ? 內(nèi)的曲線 C? 的方程是 )0(22 ??? pxpy ，求曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。 錯解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯解 2 由焦點(diǎn) )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯解分析 這兩個解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個條件。 當(dāng)所求直線斜率為零時，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22? 只有一個交點(diǎn)。原因是沒有弄清對數(shù)定義。任何一個論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴(yán)密。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： ,6,2 ???? kk ???? .449)43(42)(22)(1212)1()1(222222???????????????????k???????????? 有的學(xué)生一看到 449? ，常受 選擇答案（ A）的誘惑，盲從附和。 x y O 圖 2－ 2－ 1 x y O 圖 2－ 2－ 2 思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是： 30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有 15＋7＋ 4＋ 2＋ 1＝ 29場比賽。 當(dāng)方程①有一正根、一 負(fù)根時，得??? ???? .0102a解之，得 .11 ??? a 因此，當(dāng) 817?a 或 11 ??? a 時，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ?有兩個公共點(diǎn)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。 2－②得 32338 ???? b ④ ③ +④ 得 .343)3(310,34333310 ????? fba 即 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)bxaxxf ??)( ，其值是同時受 ba和 制約的。 解法一 （代數(shù)法）設(shè) ，、 )( Ryxyixz ??? .25)1(.4 2222 yyxizyx ??????? ＝則 .32,2 m a x ?????? izyy 時，當(dāng)? 解法二 （三角法）設(shè) ),sin(co s2 ?? iz ?? 則 .s in45)1s in2c o s4 22 ??? ????? ＋（iz .31s in m a x ????? iz時，當(dāng) ? 解法三 （幾何法） 。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。 a 、 b 、 c 中至少有一個為 1，也就是說111 ??? cba 、 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。 證明 當(dāng) 0??yx 時， 等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關(guān)于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個方程，它的兩個相等實(shí)根是 1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實(shí)數(shù) ,滿足關(guān)系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3的自然數(shù)，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯(lián)想到勾股定理 , cba 、 可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。 思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當(dāng) 3?x 時， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。根據(jù)其特點(diǎn)， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：0))()(( ???? accbba 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x 、 y 是一元二次方程 0322 ?