【正文】 1237 ???? bb 所以必有21?b，此時當21??y時， 2d （從而 d ）有最大值， 所以 22 )7(34 ??b ，解得 .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 例 10 求xxy 22 cos8sin2 ??的最小值 錯解 1 |c o ss in| 8c o s 8s in 22c o s 8s in 2 2222 xxxxxxy ?????? .16,.16|2s in| 16 m i n ???? yx 錯解 2 .261182221)c osc os 8()s ins in 2( 2222 ??????????? xxxxy 錯誤分析 在解法 1中， 16?y 的充要條件是 .1|2s in|c os8s in 222 ?? xxx 且 即 .1|sin|21|| ?? xtgx 且 這是自相矛盾的。 數學思維的開拓性主要體現在： (1) 一題的多種解法 例如 已知復數 z 滿足 1|| ?z ，求 || iz? 的最大值。分析法其本質就是尋找命題成立的充分條件。除了證法 證法 5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。 證法 2 設 , bzyayx ???? 則 .bazx ??? 于是，已知條件可化為： .0)(04)( 22 zyyxbabaabba ???????????? 所以 zyx 、 成等差數列。 分析 1 雖然所求函數的結 構式具有兩個字母 yx、 ，但已知條件恰有 yx、 的關系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉換為普通的二次函數求最值問題。 此時， ,222 |100| ????d即 .22)( 22 ＝最小yx ? 所以 22 yx ? 的最小值為 .21 注 如果設 ,22 zyx ?? 則問題還可轉化為直線 1??yx 與圓 zyx ?? 22 有交點時，半徑 z 的最小值。 證法 3 ,1,1 22 Rz zRzz ?????即 .11 Rzzzzzz ?????? 從而必有 .1||.1 ???? zzz 簡評 設出復數的代數形式或三角形式，代 入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復數問題的基本方法。 解法 2 因為 M 是 AB 的中點，所以 ABOM? ， 所以點 M 的軌跡是以 ||OP 為直徑的圓，圓心為 )6,25( , 半徑為 ?? ,2132 || OP 該圓的方程為： 222 )213()6()25( ???? yx 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 化簡，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 3 （交軌法）將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。這里由于中點 M 的坐標 ),( yx 與兩交點 ),(),( 2211 yxByxA 、 通過中點公式聯系起來，又點 、 MP BA、構成 4點共線的和諧關系，根據它們的斜率相等，可求得軌跡方程。 第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。 一般說來，對于題目的熟悉程度 ，取決于對題目自身結構的認識和理解。 數學解題中，構造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構造圖形（點、線、面、體），構造算法，構造多項式，構造方程（組），構造坐標系，構造數列，構造行列式，構造等價性命題，構造反例，構造數學模型等等。 分類考察討論： 在些數學題，解題的復雜性，主要在于它的條件、結論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。 對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內容形象化，復雜關系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發(fā)現解題線索。 數學解題思維過程 數學解題的思維過程是指從理解問題開始，從經過探索思路，轉換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動 。求得最終結果以后，檢查并分析結果。因為這意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。 第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數學 思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束包含另一個新的思維活動過程的開始。將計劃的所有細節(jié)實際地付諸實現，通過與已知條件所選擇的根據作對比后修正計劃，然后著手敘述解答過程的方法，并且書寫解答與結 果。 六、整體化策略 所謂整體化策略，就是當我們面臨的是一道 按常規(guī)思路進行局部處理難以奏效或計算冗繁的題目時，要適時調整視角，把問題作為一個有機整體，從整體入手，對整體結構進行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。 三、直觀化策略 ： 所謂直觀化策略，就是當我們面臨的是一道內容抽象，不易捉摸的題目時，要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯系，找到原題的解題思路。 尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件： 在些結構復雜的 綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經過適當組合抽去中間環(huán)節(jié)而構成的。 （三）恰當構造輔助元素 ： 數學中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F形式；條件與結論（或問題）之間，也存在著多種聯系方式。 基于這樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。 對于數學解題思維過程， G . 波利亞提出了四個階段 *（見附錄），即弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧。設而不求，代點運算。這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。 ),( yxP 1 1 O x y l 圖 4－ 2－ 2 證法 2 設 ),(1 2 Raazz ???當 0?a 時，可得 0?z 與 Rz? 條件不合， .0??a 則有 21 zza ??， .11, 22 zzzzaa ?????? 即 ).()()1()1( 22 zzzzzzzzzzzz ????????? 但 ,|| 2zzz ?? .0)||1)((,|||| 222 ?????????? zzzzzzzzz 而 .1||, 2 ???? zRzz 即 .1|| ? 分析 3 因為實數的倒數仍為實數，若對原式取倒數，可變換化簡為易于進行運算的形式。 解法 4 如圖 4－ 2－ 2， 1??yx 表示直線 ,l 22 yx ? 表示原點到直線 l 上的點 ),( yxP 的距離的平方。證法 3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。 證法 1 ? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz ,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222?????????????????????yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 故 zyyx ??? ，即 zyx 、 成等差數列。 y d 圖 4－ 2－ 1 O 證法 4 ,1,1 2222 ???? yxba? ?可設 ? ???? c o s,s o s,s in ???? yxba ? ,1)c o s (c o sc o ss ins in ?????? ??????byax 分析 5 數形結合法：由于條件 122 ??yx 可看作是以原點為圓心，半徑為 1的單位圓，而 .22 babyaxbyax ???? 聯系到點到直線距離公式，可得下面證法。 證法 1 )()11(21)(1 byaxbyax ??????? )()(21 2222 byaxyxba ?????? ,0])()[(21)]2()2[(21222222???????????ybxaybybxaxa 所以 .1??byax 分析 2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質等，得出正確的結論。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。即： 若 21?b ，則當 by ?? 時， 2d （從而 d ）有最大值。在推理過程中，必須y O x? ? ? x F? 例 8 （如圖 3－ 2－ 2），具有公共 y 軸的兩個直角坐標平面 ?和 ? 所成的二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 .已知 ? 內的曲線 C? 的方程是 )0(22 ??? pxpy ，求曲線 C? 在 ?內的射影的曲線方程。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。 錯解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯解 2 由焦點 )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。 當所求直線斜率為零時，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22? 只有一個交點。原因是沒有弄清對數定義。任何一個論證都是由推理來實現的，推理出錯，說明思維不嚴密。因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和外延，為判斷和推理奠定基礎。 利用一元二次方程根與系數的關系易得： ,6,2 ???? kk ???? .449)43(42)(22)(1212)1()1(222222???????????????????k???????????? 有的學生一看到 449? ，常受 選擇答案（ A）的誘惑，盲從附和。 x y O 圖 2－ 2－ 1 x y O 圖 2－ 2－ 2 思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是： 30支隊比賽，每次出兩支隊，應有 15＋7＋ 4＋ 2＋ 1＝ 29場比賽。 當方程①有一正根、一 負根時，得??? ???? .0102a解之，得 .11 ??? a 因此，當 817?a 或 11 ??? a 時，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ?有兩個公共點。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。 2－②得 32338 ???? b ④ ③ +④ 得 .343)3(310,34333310 ????? fba 即 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數bxaxxf ??)( ，其值是同時受 ba和 制約的。 解法一 （代數法）設 ，、 )( Ryxyixz ??? .25)1(.4 2222 yyxizyx ??????? ＝則 .32,2 m a x ?????? izyy 時，當? 解法二 （三角法）設 ),sin(co s2 ?? iz ?? 則 .s in45)1s in2c o s4 22 ??? ????? ＋（iz .31s in m a x ????? iz時，當 ? 解法三 （幾何法） 。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。 a 、 b 、 c 中至少有一個為 1，也就是說111 ??? cba 、 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。 證明 當 0??yx 時， 等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是 1 ，根據韋達定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實數 ,滿足關系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3的自然數，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯想到勾股定理 , cba 、 可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法。出現這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。 思維障礙 大部分學生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當 3?x 時， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計算結果出現錯誤。根據其特點， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現。要證的結論，可以轉化為：0))()(( ???? accbba 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。由此聯想到韋達定理，x 、 y 是一元二次方程 0322 ?