【正文】 《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》 大家好好看，一定會收益的 一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略 第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性 一、概念 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性 —— 善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個方面的訓(xùn)練： （ 1）善于觀察 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本的途徑，它是了解問題、 發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。 例如，求和)1( 143 132 121 1 ???????? nn?. 這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111)1( 1 ???? nnnn，因此，原式等于 1111113121211 ?????????? nnn?問題很快就解決了。 （ 2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。 稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。 例如，解方程組??? ???? 32xy yx. 這個方程指明兩個數(shù)的和為 2 ，這兩個數(shù)的積為 3? 。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x 、 y 是一元二次方程 0322 ??? tt 的兩個根， 所以??? ???31yx或??? ???13yx.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。 （ 3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)家 G . 波利亞在《怎樣解題》中說過： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?？梢姡忸}過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后 ，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。 例如，已知cbacba ????? 1111, )0,0( ???? cbaabc , 求證 a 、 b 、 c 三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。 恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：0))()(( ???? accbba 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會 用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。 綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 （ 1） 觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。 例 1 已知 dcba , 都是實(shí)數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的 結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而 左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。 證明 不妨設(shè) ),(),( dcBbaA 如圖 1－ 2－ 1所示， 則 .)()( 22 dbcaAB ???? , 2222 dcOBbaOA ???? 在 OAB? 中，由三角 形三邊之間的關(guān)系知： ABOBOA ?? 當(dāng)且僅當(dāng) O在 AB上時，等號成立。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學(xué)生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進(jìn)一步講是對基礎(chǔ)知識的掌握不牢固。因此，平時應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。 x y O ),( baA ),( dcB 圖 1－ 2－ 1 例 2 已知 xyx 623 22 ?? ，試求 22 yx ? 的最大值。 解 由 xyx 623 22 ?? 得 .20,0323,0.3232222???????????xxxyxxy? 又 ,29)3(21323 22222 ???????? xxxxyx ?當(dāng) 2?x 時， 22 yx ? 有最大值，最大值為 .429)32(21 2 ???? 思路分析 要求 22 yx ? 的最大值，由已知條件很快將 22 yx ? 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) ,29)3(21)( 2 ???? xxf 然后求極值點(diǎn)的 x 值，聯(lián)系到 02?y ，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。 思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當(dāng) 3?x 時， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。 有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。 例 3 已知二次函數(shù) ),0(0)( 2 ????? acbxaxxf 滿足關(guān)系 )2()2( xfxf ??? ，試比較 )(f 與 )(?f 的大小。 思路分析 由已知條件 )2()2( xfxf ??? 可知，在與 2?x 左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 2?x 對稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。 解 （如圖 1－ 2－ 2）由 )2()2( xfxf ??? ， 知 )(xf 是以直線 2?x 為對稱軸，開口向上的拋物線 x y O 2 圖 1－ 2－2 它與 2?x 距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。 )()( ?? ff ?????? 思維障礙 有些同學(xué)對比較 )(f 與 )(?f 的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù) )(xf 的表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式tgBtgA tgBtgABAtg ?? ??? 1)(可得下面解法。 解 C?? 為鈍角， 0??tgC .在 ABC? 中 )( BACCBA ??????? ?? 且 均為銳角，、 BA ? ?.,0,0.01)()(??????????? ??????????t gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gABAtgBAtgt gC即?? 故應(yīng)選擇（ B） 思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。 例 5 若 .2,0))((4)( 2 zxyzyyxxz ??????? 證明： 思路分析 此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。 證明 當(dāng) 0??yx 時， 等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關(guān)于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個方程，它的兩個相等實(shí)根是 1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實(shí)數(shù) ,滿足關(guān)系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3的自然數(shù)，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯(lián)想到勾股定理 , cba 、 可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。 證明 設(shè) cba 、 所對的角分別為 A 、 B 、 .C 則 C 是直角， A 為銳角，于是 ,c os,sin cbAcaA ?? 且 ,1c o s0,1s in0 ???? AA 當(dāng) 3?n 時，有 AAAA nn 22 c o sc o s,s ins in ?? 于是有 1c o ss inc o ss in 22 ???? AAAA nn 即 ,1)()( ?? nn cbca 從而就有 .nnn cba ?? 思維阻礙 由于這是一個關(guān)于自然數(shù) n 的命題，一些學(xué)生都會想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來 。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 ○1 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例 11 已知 ,1111 ?????? cbacba 求證 a 、 b 、 c 中至少有 一個等于 1。 思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。 a 、 b 、 c 中至少有一個為 1，也就是說111 ??? cba 、 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。 證明 .,1111 abcabacbccba ???????? 于是 .0)()1()1)(1)(1( ???????????? cbabcacababccba ? 111 ??? cba 、 中至少有一個為零，即 a 、 b 、 c 中至少有一個為 1。 思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為 1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。 例 12 直線 L 的方程為2px ??，其中 0?p ；橢圓 E 的中心為 )0,22( pO ??，焦點(diǎn)在 X 軸上，長半軸為 2，短半軸為 1，它的一個頂點(diǎn)為 )0,2(pA，問 p 在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離等于該點(diǎn)到直線 L 的距離。 思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線 pxy 22 ? （ 1） 是，又從已知條件可得橢圓 E 的方程為 14 )]22([ 22???? ypx （ 2） 因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（ 1）、（ 2）有四個不同的實(shí)數(shù)解時，求 p 的取值范圍。將（ 2）代入（ 1）得： .024)47( 22 ????? ppxpx （ 3） 確定 p 的范圍，實(shí)際上就是求（ 3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組： ?????????????????0470240)24(4)47(222pppppp 在 0?p 的條件下，得 .130 ??p 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 ○2 逆向思維的訓(xùn)練 逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。 例 13 已知函數(shù) nmxxxf ??? 22)( ，求證 )1(f 、