高中數(shù)學圓錐曲線解題技巧總結(已修改)
2025-04-16 05:08 本頁面
【正文】 .. . . ..解圓錐曲線問題的常用方法大全 定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當r1r2時，注意r2的最小值為ca：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將 半徑與“點到準線距離”互相轉化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。韋達定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。 解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有： （1）與直線相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設弦AB中點為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例(1)拋物線C:y2 =4x上一點P到點A(3,4)與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為______________ (2)拋物線C: y2 =4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。解：（1）（2，）連PF，當A、P、F三點共線時，最小，此時AF的方程為 即 y=2(x1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點為()，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去）（2）（）過Q作QR⊥l交于R，當B、Q、R三點共線時，最小，此時Q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，∴Q()點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。例F是橢圓的右焦點，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準線作出來考慮問題。解：（1）4 設另一焦點為，則(1,0)連A,P 當P是A的延長線與橢圓的交點時, 取得最小值為4。（2）3 作出右準線l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，∴∴當A、P、H三點共線時，其和最小，最小值為例動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓C2:(x1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖，∴∴ （*）∴點M的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點評：得到方程（*）后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項，平方，…相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！例△ABC中，B(5,0),C(5,0),且sinCsinB=sinA,求點A的軌跡方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式，兩邊乘
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