【正文】 要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相等正根。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。 2－①得 156 ??a ③ ①179。 例 14 已知復數(shù) z 的模為 2，求 iz? 的最大值。 ○2 逆向思維的訓練 逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。首先將結(jié)論用數(shù)學式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。而此題函數(shù) )(xf 的表達式不確定無法代值，所以無法比較。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。 例 1 已知 dcba , 都是實數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的 結(jié)論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而 左端可看作是點到原點的距離公式。 恰當?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。 例如，解方程組??? ???? 32xy yx. 這個方程指明兩個數(shù)的和為 2 ，這兩個數(shù)的積為 3? 。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下幾個方面的訓練： （ 1）善于觀察 心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。 （ 2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓練。因此，平時應(yīng)多注意數(shù)學公式、定理的運用練習。 思路分析 由已知條件 )2()2( xfxf ??? 可知，在與 2?x 左右等距離的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 2?x 對稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。 解 C?? 為鈍角， 0??tgC .在 ABC? 中 )( BACCBA ??????? ?? 且 均為銳角，、 BA ? ?.,0,0.01)()(??????????? ??????????t gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gABAtgBAtgt gC即?? 故應(yīng)選擇（ B） 思維障礙 有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉(zhuǎn)化的訓練是很必要的。 例 12 直線 L 的方程為2px ??，其中 0?p ；橢圓 E 的中心為 )0,22( pO ??，焦點在 X 軸上，長半軸為 2，短半軸為 1，它的一個頂點為 )0,2(pA，問 p 在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點 A 的距離等于該點到直線 L 的距離。 則??????????????????????????????????????????????????17319729131318112811211)3(1)2(1)1(nmnmnmnmnmnmfff ③②① ①＋③得 9211 ????? nm ， 與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即 )1(f 、 )2(f 、 )3(f 中至少有一個不小于 1。 二、思維訓練實例 (1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。 例 2 證明勾股定理：已知在 ABC? 中， ??? 90C ，求證 .222 bac ?? 錯誤證法 在 ABCRt? 中， ,c os,s in cbAcaA ?? 而 1cossin 22 ?? AA ， 1)()( 22 ??? cbca ，即 .222 bac ?? 錯誤分析 在現(xiàn)行的中學體系中， 1cossin 22 ?? AA 這個公式本身是從勾股定理推出來的。 例 3 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 12 ?? nnS ，求 .na 錯誤解法 .222)12()12( 1111 ???? ????????? nnnnnnnn SSa 錯誤分析 顯然，當 1?n 時， 123 1111 ???? ?Sa ，錯誤原因，沒有注意公式 1??? nnn SSa 成立的條件是 ).(2 Nnn ?? 因此在運用 1??? nnn SSa 時，必須檢驗 1?n 時的情形。 (3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解 受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。 例 7 設(shè) ??、 是方程 0622 ???? kkxx 的兩個實根，則 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是（ ） 不存在)(。 第三講 數(shù)學思維的嚴密性 二、概述 在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。訓練的有效途徑之一是查錯。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。 例 實數(shù) m ，使方程 021)4(2 ????? miximx 至少有一個實根。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 AB? ，則稱 A 是 B 的必要條件。根據(jù)已知條件得 3|||| ?? PMCP ，即 .3)3( 22 ???? xyx 化簡得 ).0(122 ?? xxy 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。 C(3,0) y x O 圖 3－ 2－1 M N .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 12 4,0)1)(12(.012033336????????????qqqqqqq或得方程由 錯誤分析 在錯解中，由qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 時，應(yīng)有 .101 ?? qa 和 在等比數(shù)列中， 01?a 是顯然的，但公比 q 完全可能為 1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比 1?q 的情況，再在1?q 的情況下，對式子進行整理變形。 所以曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程是 .2 pxy ? 錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為曲線）的焦點，是射影 (F 其次，未經(jīng)證明 C?默認 條拋物線內(nèi)的射影（曲線）是一在 ? 。 所以 22 )7(34 ??b ，由此解得： .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 錯解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。 正確解法 1 xxy 22 sec8c sc2 ?? .1842210)4(210)1(8)1(2222222????????????xtgxctgxtgxctgxtgxctg 其中，當 .1824 222 ??? yxc tgxtgxc tg 時，即 .18min ??y 正 確 解 法 2 取正常數(shù) k ，易得 kxkxxkxy ????? )c osc os 8()s ins in 2( 2222 .268222 kkkkk ???????? 其中“ ? ”取“＝”的充要條件是 .1821c o sc o s8s ins in 2 22222 ???? kxtgxkxxkx 且，即且 因此，當 ,1826212 ????? kkyxtg 時， .18min ??y 第四講 數(shù)學思維的開拓性 一、概述 數(shù)學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。 (2) 一題的多種解釋 例如，函數(shù)式 221axy? 可以有以下幾種解釋： ①可以看成自由落體公式 .21 2gts? ②可以看成動能公式 .21 2mvE? ③可以看成熱量公式 .21 2RIQ? 又如“ 1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。 證法 2 要證 .1??byax 只需 證 ,0)(1 ??? byax 即 ,0)(22 ??? byax 因為 .1,1 2222 ???? yxba 所以只需證 ,0)(2)( 2222 ?????? byaxyxba 即 .0)()( 22 ???? ybxa 因為最后的不等式成立，且步步可逆。 例 2 如果 ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz 求證： zyx 、 成等差數(shù)列。 證法 3 當 0??yx 時，由已知條件知 ,0 zyxxz ????? 即 zyx 、 成等差數(shù)列。 ? 當 2122 2 ?????x 時， .2124 2124 2 ＝）－（－＝最小值 ???z ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 2 已知的一次式 1??yx 兩邊平方后與所求的二次式 22 yx ? 有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法 1是基本方法，解法 4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點，與相關(guān)知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法 4，形 象直觀，值得效仿。現(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這是需要體會的關(guān)鍵之處。 解法 3 設(shè)過 P 點的割線的斜率為 ,k 則過 P 點的割線方程為：)5(12 ??? xky . ? ABOM? 且過原點， OM? 的方程為 .1xky ?? 這兩條直線的交點就是M 點的軌跡。其中解法 3局限于曲線是圓的條件，而解法 5適用于一般的過定點 P 且與二次曲線 C 交于 BA、兩點，求 AB 中點 M 的軌跡問題。 第三階段：計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。 簡單化是熟悉化的補充和發(fā)揮。 簡單化已知條件： 有些數(shù)學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。包括認清習題的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息，建立習題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的準備。將新知識和經(jīng)驗加以整理使之系統(tǒng)化。 （ 3） 深入地分析并思考習題敘述中的每一個符號、術(shù)語的含義，從中找出習題的重要元素，要圖中標出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有 重要發(fā)現(xiàn)。 第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。有目的地進行各種組合的試驗，盡可能將習題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗后作修正，最后確定解題計劃。 四、特殊化策略 所謂特殊化策略，就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。 因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。 （二） 、 全方位、多角度分析題意 ： 對于同一道數(shù)學題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認識。 數(shù)學解題的技巧 為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更 加活潑，進一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。對于解法 5通常利用 ABPM kk ? 可較簡捷地求出軌跡方程，比解法 4計算量要小，要簡捷得多。由于動點 M 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點 M 的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。 例 5 由圓 922 ??yx 外一點 )12,5(P 引圓的割線交圓于 BA、 兩點，求弦 AB的中點 M 的軌跡方程。 證法 1 設(shè) ),(12 Raazz ???當 0?a 時，可得 0?z 與 Rz? 條件不合。 ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 3 配方法是解決求最值問題的一種常用 手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。