【正文】 （ 3） 深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有 重要發(fā)現(xiàn)。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。 第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué) 思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開始。 第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程的方法，并且書寫解答與結(jié) 果。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。 數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程 數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng) 。 六、整體化策略 所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道 按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問(wèn)題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法。 四、特殊化策略 所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，以便從特殊問(wèn)題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治?，拓寬解題思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。 對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。 三、直觀化策略 ： 所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問(wèn)題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。 簡(jiǎn)單化已知條件： 有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。 分類考察討論： 在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。 尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件： 在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的 綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。 因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。 簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。 數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。 （三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素 ： 數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。 （二） 、 全方位、多角度分析題意 ： 對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。 一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度 ，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。 基于這樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。 數(shù)學(xué)解題的技巧 為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更 加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。 第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。 第一階段：理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開始。 對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程， G . 波利亞提出了四個(gè)階段 *（見(jiàn)附錄），即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。對(duì)于解法 5通常利用 ABPM kk ? 可較簡(jiǎn)捷地求出軌跡方程，比解法 4計(jì)算量要小，要簡(jiǎn)捷得多。其中解法 3局限于曲線是圓的條件，而解法 5適用于一般的過(guò)定點(diǎn) P 且與二次曲線 C 交于 BA、兩點(diǎn)，求 AB 中點(diǎn) M 的軌跡問(wèn)題。這里由于中點(diǎn) M 的坐標(biāo) ),( yx 與兩交點(diǎn) ),(),( 2211 yxByxA 、 通過(guò)中點(diǎn)公式聯(lián)系起來(lái)，又點(diǎn) 、 MP BA、構(gòu)成 4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。由于動(dòng)點(diǎn) M 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。 解法 3 設(shè)過(guò) P 點(diǎn)的割線的斜率為 ,k 則過(guò) P 點(diǎn)的割線方程為：)5(12 ??? xky . ? ABOM? 且過(guò)原點(diǎn)， OM? 的方程為 .1xky ?? 這兩條直線的交點(diǎn)就是M 點(diǎn)的軌跡。 解法 2 因?yàn)?M 是 AB 的中點(diǎn)，所以 ABOM? ， 所以點(diǎn) M 的軌跡是以 ||OP 為直徑的圓，圓心為 )6,25( , 半徑為 ?? ,2132 || OP 該圓的方程為： 222 )213()6()25( ???? yx 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 化簡(jiǎn)，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 3 （交軌法）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問(wèn)題。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，可得下面解法。 例 5 由圓 922 ??yx 外一點(diǎn) )12,5(P 引圓的割線交圓于 BA、 兩點(diǎn)，求弦 AB的中點(diǎn) M 的軌跡方程?，F(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會(huì)的關(guān)鍵之處。 證法 3 ,1,1 22 Rz zRzz ?????即 .11 Rzzzzzz ?????? 從而必有 .1||.1 ???? zzz 簡(jiǎn)評(píng) 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代 入已知條件化簡(jiǎn)求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的基本方法。 ),( yxP 1 1 O x y l 圖 4－ 2－ 2 證法 2 設(shè) ),(1 2 Raazz ???當(dāng) 0?a 時(shí)，可得 0?z 與 Rz? 條件不合， .0??a 則有 21 zza ??， .11, 22 zzzzaa ?????? 即 ).()()1()1( 22 zzzzzzzzzzzz ????????? 但 ,|| 2zzz ?? .0)||1)((,|||| 222 ?????????? zzzzzzzzz 而 .1||, 2 ???? zRzz 即 .1|| ? 分析 3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若對(duì)原式取倒數(shù)，可變換化簡(jiǎn)為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。 證法 1 設(shè) ),(12 Raazz ???當(dāng) 0?a 時(shí)，可得 0?z 與 Rz? 條件不合。解法 1是基本方法，解法 4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，所以具有靈巧簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法 4，形 象直觀，值得效仿。 此時(shí)， ,222 |100| ????d即 .22)( 22 ＝最小yx ? 所以 22 yx ? 的最小值為 .21 注 如果設(shè) ,22 zyx ?? 則問(wèn)題還可轉(zhuǎn)化為直線 1??yx 與圓 zyx ?? 22 有交點(diǎn)時(shí)，半徑 z 的最小值。 解法 4 如圖 4－ 2－ 2， 1??yx 表示直線 ,l 22 yx ? 表示原點(diǎn)到直線 l 上的點(diǎn) ),( yxP 的距離的平方。 ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 3 配方法是解決求最值問(wèn)題的一種常用 手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。 ? 當(dāng) 2122 2 ?????x 時(shí)， .2124 2124 2 ＝）－（－＝最小值 ???z ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 2 已知的一次式 1??yx 兩邊平方后與所求的二次式 22 yx ? 有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。 分析 1 雖然所求函數(shù)的結(jié) 構(gòu)式具有兩個(gè)字母 yx、 ，但已知條件恰有 yx、 的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問(wèn)題。證法 3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。 簡(jiǎn)評(píng)： 證法 1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。 證法 3 當(dāng) 0??yx 時(shí)，由已知條件知 ,0 zyxxz ????? 即 zyx 、 成等差數(shù)列。 證法 2 設(shè) , bzyayx ???? 則 .bazx ??? 于是，已知條件可化為： .0)(04)( 22 zyyxbabaabba ???????????? 所以 zyx 、 成等差數(shù)列。 證法 1 ? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz ,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222?????????????????????yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 故 zyyx ??? ，即 zyx 、 成等差數(shù)列。此條件應(yīng)從已知條件中得出。 例 2 如果 ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz 求證： zyx 、 成等差數(shù)列。除了證法 證法 5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。 y d 圖 4－ 2－ 1 O 證法 4 ,1,1 2222 ???? yxba? ?可設(shè) ? ???? c o s,s o s,s in ???? yxba ? ,1)c o s (c o sc o ss ins in ?????? ??????byax 分析 5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件 122 ??yx 可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1的單位圓，而 .22 babyaxbyax ???? 聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。 分析 3 運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成 立的方法） 證法 3 .2,2 2222 ybbyxaax ????? .122 2222 ??????? ybxabyax 即 .1??byax 分析 4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于 1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來(lái)方便。 證法 2 要證 .1??byax 只需 證 ,0)(1 ??? byax 即 ,0)(22 ??? byax 因?yàn)? .1,1 2222 ???? yxba 所以只需證 ,0)(2)( 2222 ?????? byaxyxba 即 .0)()( 22 ???? ybxa 因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。 證法 1 )()11(21)(1 byaxbyax ??????? )()(21 2222 byaxyxba ?????? ,0])()[(21)]2()2[(21222222???????????ybxaybybxaxa 所以 .1??byax 分析 2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。 1． 思維訓(xùn)練實(shí)例 例 1 已知 .1,1 2222 ???? yxba 求證： 1??byax 分析 1 用比較法。 (2) 一題的多種解釋 例如，函數(shù)式 221axy? 可以有以下幾種解釋： ①可以看成自由落體公式 .21 2gts? ②可以看成動(dòng)能公式 .21 2mvE? ③可以看成熱量公式 .21 2RIQ? 又如“ 1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡(jiǎn)捷。 數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在： (1) 一題的多種解法 例如 已知復(fù)數(shù) z 滿足 1|| ?z ，求 || iz? 的最大值。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說(shuō)的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來(lái)完成的。 正確解法 1 xxy 22 sec8c sc2 ?? .1842210)4(210)1(8)1(2222222????????????xtgxctgxtgxctgxtgxctg 其中，當(dāng) .1824 222 ??? yxc tgxtgxc tg 時(shí)，即 .1