【正文】 一、 熟悉化策略 。 一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的。 第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。 第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。這四個階段思維過程的實質(zhì)，可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。 第 29 頁 共 41 頁 二、 解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核 數(shù)學(xué)解題的思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至 解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動。具有普遍意義，值得重視。 解法 5 設(shè) ),(),(),( 2211 yxByxAyxM 則 .2,2 211 yyyxx ???? .9,9 22222121 ???? yxyx? 兩式相減，整理，得 .0))(())(( 21121212 ?????? yyyyxxxx 所以 ,21211212 yxyy xxxx yy ???????? 即為 AB 的斜率，而 AB 對斜率又可表示為 ,512xy?? ,512 yxxy ????? 化簡并整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。從整體的角度看待問題。 解法 4 設(shè)過 P 點的割線方程為： )5(12 ??? xky 它與圓 922 ??yx 的兩個交點為 BA、 ， AB 的中點為 M . 解方程組 ??? ?? ??? ,9 12)5(22 yxxky 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 第 28 頁 共 41 頁 利用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，可求得 M 點的軌跡方程為： .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系：點在曲線上則點的坐標(biāo)滿足方程。兩方程相乘消去 ,k 化簡，得： .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 4 （參數(shù)法）將動點坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。因為動點 M 可看作直線 OM 與割線 PM 的交點，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。 解法 1 如圖 4－ 2－ 3，設(shè)弦 AB 的中點 M 的坐標(biāo)為 ),( yxM ，連接 OMOP、 ， 則 ABOM? ，在 OMP? 中，由兩點間的距離公式和勾股定理有 .169)12()5( 2222 ?????? yxyx 整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的 曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。 分析 1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。證法 3 利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點。 .0??a 于是有 .02 ??? azaz ?? ,Rz? 該方程有一對共軛虛根，設(shè)為 21,zz ，于是 .||||, 222121 zzzz ??? 又由韋達(dá)定理知 .1||.1||||,1 2221221121 ???????????? zzzzzzzaazz 分析 2 由于實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是這個實數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程，注意到2||zzz ? 這一重要性質(zhì)，即可求出 ||z 的值。 設(shè) .1,2 RzzRz ???求證： .1|| ?z 分析 1 由已知條件21 zz?為實數(shù)這一特點，可提供設(shè)實系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運(yùn)用韋達(dá)定理可以探求證題途徑。 簡評 幾種解法都有特點和代表性。 顯然其中以原點到直線 l 的距離最短。 解法 3 設(shè) .22 yxz ?? .2121)21()21(1,1 2222 ?????????????? yxyxyxzyx? ? 當(dāng) 21??yx 時， .21＝最小z即 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特 點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。 解法 2 ,1)(,1 2 ????? yxyx? 即 .2122 xyy ??? ? ).(1,2 222222 yxyxyxxy ??????? 即 ,2122 ?? yx 當(dāng)且僅當(dāng) 21??yx 時取等號。 解法 1 .1,1 xyyx ?????? 設(shè) 22 yxz ?? ，則 .122)1( 222 ?????? xxxxz ? 二次項系數(shù)為 ,02? 故 z 有最小值。 已知 1??yx ，求 22 yx ? 的最小值。證法 2 簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。 當(dāng) 0??yx 時，關(guān)于 t 的一元二次方程： ,0)()()( 2 ?????? zytxztyx 第 25 頁 共 41 頁 其判別式 ?? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz 故方程有等根，顯然 t ＝ 1為方程的一個根，從而方程的兩根均為 1， 由韋達(dá)定理知 .121 zyyxyx zytt ?????????即 zyx 、 成等差數(shù)列。 分析 3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式 acb 42 ??? 的結(jié)構(gòu)特點引人注目，提供了構(gòu)造一個適合上述 條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會。 分 析 2 由于已知條件具有 xzzyyx ??? , 輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來便利。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。 分析 1 要證 zyx 、 ，必須有 zyyx ??? 成立才行。可在具體應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。 證法 5 （如圖 421）因為直線 0: ??byaxl 經(jīng)過 圓 122 ??yx 的圓心 O，所以圓上任意一點 ),( yxM 到直線 0??byax 的距離都小于或等于圓半徑 1， 即 .11||||22 ????????? byaxbyaxba byaxd 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。 證法 4 ,1,1 2222 ???? yxba? ?可設(shè) ? ???? c o s,s i o s,s i n ???? yxba ? ,1)c o s (c o sc o ss i ns i n ?????? ??????byax 分析 5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件 122 ??yx 可看作是以原點為圓心，半徑為 1 的單位圓，而x l M所以原不等式成立。因此，證明過程必須 步步可逆 ． ． ． ． ，并注意書寫規(guī)范。從而證明原結(jié)論正確。本題只要證 .0)(1 ??? byax 為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于 2便不難解決?！?1”可以變換為： xtgxabxxxxabaa 2222 s e c),(l og)(l og,c oss i n,l og ???，等等。 我們可以考慮用下面幾種方法來解決： ①運(yùn)用復(fù)數(shù) 的代數(shù)形式； ②運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式； ③運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義； ④運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式） |||||||||||| 212121 zzzzzz ????? ； ⑤運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系 zzz ??2|| ； ⑥（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓 1|| ?z 與 riz ?? || 有公共點時， r的最大值。 在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。通過用不同的方法 解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。 “數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關(guān)系。 .16min ??y 在解法 2中， 261???y 的充要條件是 ,22c os2s i nc osc os 8s i ns i n 2 222222 ???? xxxxxx ，即且這是不可能的。 于是 ,)23()7( 22 ?? b 從而解得 矛盾。事實上，由于點 ),( yx 在橢圓上，所以有 byb ??? ，因此在求 2d 的最大值時，應(yīng)分類討論。結(jié)果正確只是碰巧而已。 圖 3－ 2－ 3 M N H 第 20 頁 共 41 頁 .34)21(3493)1(222222??????????byyybya 所以當(dāng) 21??y 時， 2d 有最大值，從而 d 也有最大值。 例 9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸 x 在軸上，離心率 23?e ，已知點 )23,0(P 到這個橢圓上的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個橢圓的方程。以已知的真實數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等 為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。 圖 3－ 2－ 2 第 19 頁 共 41 頁 正確解法 在 ? 內(nèi)，設(shè)點 ),( yxM ?? 是曲線上任意一點 （如圖 3－ 2－ 3）過點 M 作 ??MN ，垂足為 N ， 過 N 作 yNH? 軸，垂足為 .H 連接 MH ， 則 yMH? 軸。 所以曲線 C? 在 ? 內(nèi)的射影的曲線方程是 .2 pxy ? 錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為 曲線）的焦點，是射影 (F 其次，未經(jīng)證明 C?默認(rèn) 條拋物線內(nèi)的射影（曲線）是一在 ? 。 錯誤解法 依題意，可知曲線 C? 是拋物線， 在 ? 內(nèi)的焦點坐標(biāo)是 .0),0,2( ?? ppF 因為二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 ， 且 軸，軸軸，軸 yxyx ??? 所以 .60???? xxo 設(shè)焦點 F? 在 ? 內(nèi)的射影是 ),( yxF ，那么， F 位于 x 軸上， 從而 ,90,60,0 ????????? FOFOFFy 所以 .421260c os ppFOOF ??????? 所以點 )0,4(pF 是所求射影的焦點。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。 正確解法 若 1?q ，則有 .9,6,3 191613 aSaSaS ??? 但 01?a ，即得 ,2 963 SSS ?? 與題設(shè)矛盾，故 1?q . 又依題意 ,2 963 SSS ?? 可得 qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 即 ,0)1)(12( 33 ??? qq 因為 1?q ，所以 ,013 ??q 所以 .012 3 ??q 所以 .243??q 說明 此題為 1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（ 21）題，不少考生 的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失 2分。 ③防止以偏概全的錯誤 以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。即動圓圓心的軌跡方程是 和)0(122 ?? xxy )30(0 ??? xxy 且 。事實上，符合題目條件的點的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。 錯誤解法 如圖 3－ 2－ 1所示， 已知⊙ C的方程為 .9)3( 22 ??? yx 設(shè)點 )0)(,( ?xyxP 為所求軌跡上任意一點，并且⊙ P與 y 軸相切于 M點， 與⊙ C相切于 N點。 P 例 5 解不等式 .31 ??? xx 錯誤解法 要使原不等式成立，只需 ,)3(103012????????????xxxx 解得 .53 ??x 錯誤分析 不等式 BA? 成立的充分必要條件是：????????200BABA或 ??? ??00BA 原不等式的解 法只考慮了一種情況????????????2)3(10301xxxx ，而忽視了另一種情況??? ?? ?? 03 01xx，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件， 其錯誤解法的實質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。 如果 BA? ，則稱 A 是 B 的充分必要條件。 正解 1 設(shè) ),( yxP 為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準(zhǔn)線為 4?x ，右焦點 )0,10(F ，離心率 2?e ，由雙曲線的定義知 .2|4| )10(22 ?? ??x yx 整理