【正文】 就解決了。 任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關系。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下幾個方面的訓練： （ 1）善 于觀察 心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。 《 思維與思想 》的即時性、針對性、實用性，已在教學實踐中得到了全面驗證。 四、數(shù)學思維的開拓性 對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、 對一個題目運用多種不同的解法。第 1 頁 共 41 頁 《高中數(shù)學解題思維與思想》 導 讀 數(shù)學家 G . 波利亞在《怎樣解題》中說過： 數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進行有效的訓練，本策略結合數(shù)學教學的實際情況，從以下四個方面進行講解： 一、數(shù)學思維的變通性 根據(jù)題設的相關知識，提出靈活設想和解題方案 二、數(shù)學思維的反思性 提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。 三、數(shù)學思維的嚴密性 考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。 什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。 一、高中數(shù)學解題思維策略 ................................................................................................................................... 2 第一講 數(shù)學思維的變通性 ........................................................................................................................... 2 第二講 數(shù)學思維的反思性 ........................................................................................................................... 9 第三講 數(shù)學思維的嚴密性 ......................................................................................................................... 13 第四講 數(shù)學思維的開拓性 ......................................................................................................................... 22 二、解密數(shù)學思維的內(nèi)核 ..................................................................................................................................... 29 數(shù)學解題的思維過程 ..................................................................................................................................... 29 數(shù)學解題的技巧 ............................................................................................................................................. 29 一、熟悉化策略 ..................................................................................................................................... 29 二、簡單化策略 ..................................................................................................................................... 30 三、直觀化策略： ................................................................................................................................. 30 四、特殊化策略 ..................................................................................................................................... 31 五、一般化策略 ..................................................................................................................................... 31 六、整體化策略 ..................................................................................................................................... 31 七、間接化策略 ..................................................................................................................................... 31 數(shù)學解題思維過 程 ......................................................................................................................................... 31 數(shù)學解題方法 ................................................................................................................................................. 34 第 2 頁 共 41 頁 一、高中數(shù)學解題思維策略 第一講 數(shù)學思維的變通性 一、概念 數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性 —— 善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。 （ 2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。由此聯(lián)想到韋達定理， x 、 y 是一元二次方程 0322 ??? tt 的兩個根， 所以??? ???31yx或??? ???13yx.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。 可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。那么 怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。 第 3 頁 共 41 頁 例如，已知 cbacba ????? 1111 , )0,0( ???? cbaabc , 求證 a 、 b 、 c 三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。要證的結論，可以轉(zhuǎn)化為： 0))()(( ???? accbba 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。所以，必須重視觀察能力的訓練 ，使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。根據(jù)其特點， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。因此，平時應多注意數(shù)學公式、定理的運用練習。 解 由 xyx 623 22 ?? 得 .20,0323,0.3232222???????????xxxyxxy? x y O ),( baA ),( dcB 圖 1－ 2－ 1 第 4 頁 共 41 頁 又 ,29)3(21323 22222 ???????? xxxxyx ?當 2?x 時， 22 yx ? 有最大值，最大值為 .429)32(21 2 ???? 思路分析 要求 22 yx? 的最大值，由已知條件很快將 22 yx ? 變?yōu)橐辉魏瘮?shù),29)3(21)( 2 ???? xxf 然后求極值點的 x 值，聯(lián)系到 02?y ，這一條件，既快又準地求出最大值。 思維障礙 大部分學生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當 3?x 時， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計算結果出現(xiàn)錯誤。 有些問題的觀察要從相應的圖像著手。 思路分析 由已知條件 )2()2( xfxf ??? 可知，在與 2?x 左右等距離的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關于直線 2?x 對稱，又由 已知條件知它的 開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。 )()( ?? ff ?????? 思維障礙 有些同學對比較 )(f 與 )(?f 的大小，只想到求 出它們的值。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 x y O 2 圖 1－ 2－2 第 5 頁 共 41 頁 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。 解 C?? 為鈍角， 0??tgC .在 ABC? 中 )( BACCBA ??????? ?? 且 均為銳角，、 BA ? ?.,0,0.01)()(??????????? ??????????t g Bt g At g Bt g At g Bt g At g Bt g At g Bt g ABAtgBAtgt g C即?? 故應選擇（ B） 思維障礙 有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。 證明 當 0??yx 時，等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是 1 ，根據(jù)韋達定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實數(shù) ,滿足關系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3 的自然數(shù)，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯(lián)想到勾股定理 , cba 、 可構成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到 三角函數(shù)的定義可得如下證法。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓練 我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏 的、復雜的。恰當?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉(zhuǎn)化的訓練是很必要的。 思路分析 結論沒有用數(shù)學式子表示，很難 直接證明。 a 、 b 、 c 中至少有一個為 1，也就是說 111 ??? cba 、 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。 思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中