高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談-展示頁(yè)
2025-06-16 23:55本頁(yè)面
【正文】 知y=f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)x1≠x2，λ≠1α=,β=，若|f(x1)f(x2)||f(α)f(β)|，則【 】 A．λ0 B．λ=0 C. 0λ1 D．λ≥1【巧解】 等價(jià)轉(zhuǎn)化法顯然λ≠0,β==, ∴ α、β分別是以x1,，分點(diǎn)應(yīng)在線段兩端的延長(zhǎng)線上，所以λ0,故選A?！厩山狻?排除法令x=3,符合，舍A、B；令x=2,合題，舍D，選C。[答案] D。如果能靈活應(yīng)用放縮法，就可以達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的效果。如分析法就是一種重要的思維方法，在數(shù)學(xué)的其他章節(jié)中也有廣泛的應(yīng)用。 ++…+≥(a1,a2,…,an0)(6) ax+by≤.(柯西不等式)此不等式將和(差)式與平方和式之間實(shí)現(xiàn)了溝通,:例: 使關(guān)于x的不等式+≥k有解的實(shí)數(shù)k的取值范圍是【 】A B C + D 分析:所求k的范圍可以轉(zhuǎn)化為求不等式左邊的最大值即可,由柯西不等式得 +≤==.∴k≤,∴.五、不等式中解題方法的類比應(yīng)用三種基本方法：比較法、分析法、綜合法。這在解不等式相關(guān)問(wèn)題中就很有作為！請(qǐng)看下例：例：已知1a1,1b1,求證：+≥.分析：由上不等式，立即得到 +≥≥=。(5)若a,b∈R+，則+≥⑦(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào))。(a,b0)利用不等關(guān)系實(shí)現(xiàn)兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積之間的轉(zhuǎn)化；注：涉及兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積的問(wèn)題是一個(gè)十分常見(jiàn)的問(wèn)題，利用⑤、⑥兩式可以使其中的關(guān)系一目了然。(3)ab≤()2 ⑤。試試下面兩個(gè)問(wèn)題如何解:求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac。 是將含一個(gè)變量的式子，通過(guò)縮小變?yōu)楹瑑蓚€(gè)變量的式子，體現(xiàn)增元之功效，當(dāng)然反過(guò)來(lái)即是減元；(2) ≥2ab ④。當(dāng)然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)一些公式。若能對(duì)均值不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，那么在解題時(shí)就能達(dá)到事半功倍的效果。若無(wú)公共部分，則此時(shí)為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結(jié)果作并集即為所求的解集。解決這類不等式組時(shí)常借用數(shù)軸來(lái)確定，但學(xué)生在求解時(shí)總會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。再將x0與x1分別與⑤作交集,由x0與⑤得0x2。如解不等式組:,先由③④(同)得x0(大于大的)。常用畫(huà)數(shù)軸的方法來(lái)確定,?下面的方法就十分有效。三、“抓兩頭 看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法（1）解不等式（組）的本質(zhì)就是對(duì)不等式（組）作同解變形、等價(jià)變換。如：若1,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba|分析：由已知，得0ba1,∴a,b同號(hào)，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D錯(cuò)。當(dāng)a,b表示向量時(shí)，不等式等號(hào)成立的條件是：向量a與b共線；當(dāng)a,b表示實(shí)數(shù)時(shí)，有兩種情形：（1）當(dāng)ab≥0時(shí)，|a+b|=|a|+|b|, |ab|=||a||b||。b|≤|a|+|b|。綜上所述，當(dāng)a1時(shí),x∈(,+∞)；當(dāng)0a1時(shí)，x∈(1,).注：有關(guān)不等式性質(zhì)的試題，常以選擇題居多，通常采用特例法,排除法比較有效。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1)1.分析：當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于：1a,即 1a ,∵a1,∴1a0, 0,從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得x。 大家網(wǎng) 11 / 12高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談一、活用倒數(shù)法則 巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應(yīng)用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則有許多,如對(duì)稱性,傳遞性,尤其是不等變換有很大的優(yōu)越性.倒數(shù)法則：若ab0,則ab與等價(jià)。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。 當(dāng)0a1時(shí)，原不等式等價(jià)于 01 a,∴1a1, ∵0a1，∴ 1a0, 0, 從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得1x。二、小小等號(hào)也有大作為——絕對(duì)值不等式的應(yīng)用絕對(duì)值不等式：||a||b||≤|a177。這里a,b既可以表示向量，也可以表示實(shí)數(shù)。(2)當(dāng)ab≤0時(shí)，|a+b|=||a||b||, |ab|=|a|+|b|.簡(jiǎn)單地說(shuō)就是當(dāng)a,b同號(hào)或異號(hào)時(shí)，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問(wèn)題提供了十分有效的解題工具。[答案] D注：絕對(duì)值不等式是一個(gè)十分重要的不等式，其本身的應(yīng)用價(jià)值很廣泛，但在高考或其他試題中常設(shè)計(jì)成在等號(hào)成立時(shí)的特殊情況下的討論，因此利用等號(hào)成立的條件（a
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