【正文】 yxba ? ,1)c o s (c o sc o ss i ns i n ?????? ??????byax 分析 5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件 122 ??yx 可看作是以原點為圓心，半徑為 1 的單位圓，而x l M y d 圖 4－ 2－ 1 O 第 24 頁 共 41 頁 .22 ba byaxbyax ???? 聯(lián)系到點到直線距離公式，可得下面證法。 證法 5 （如圖 421）因為直線 0: ??byaxl 經(jīng)過 圓 122 ??yx 的圓心 O，所以圓上任意一點 ),( yxM 到直線 0??byax 的距離都小于或等于圓半徑 1， 即 .11||||22 ????????? byaxbyaxba byaxd 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法 證法 5 的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當進行選擇。 例 2 如果 ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz 求證： zyx 、 成等差數(shù)列。 分析 1 要證 zyx 、 ，必須有 zyyx ??? 成立才行。此條件應從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。 證法 1 ? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz ,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222?????????????????????yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 故 zyyx ??? ，即 zyx 、 成等差數(shù)列。 分 析 2 由于已知條件具有 xzzyyx ??? , 輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運算帶來便利。 證法 2 設(shè) , bzyayx ???? 則 .bazx ??? 于是，已知條件可化為： .0)(04)( 22 zyyxbabaabba ???????????? 所以 zyx 、 成等差數(shù)列。 分析 3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式 acb 42 ??? 的結(jié)構(gòu)特點引人注目，提供了構(gòu)造一個適合上述 條件的二次方程的求解的試探的機會。 證法 3 當 0??yx 時，由已知條件知 ,0 zyxxz ????? 即 zyx 、 成等差數(shù)列。 當 0??yx 時，關(guān)于 t 的一元二次方程： ,0)()()( 2 ?????? zytxztyx 第 25 頁 共 41 頁 其判別式 ?? ,0))((4)( 2 ????? zyyxxz 故方程有等根，顯然 t ＝ 1為方程的一個根，從而方程的兩根均為 1， 由韋達定理知 .121 zyyxyx zytt ?????????即 zyx 、 成等差數(shù)列。 簡評： 證法 1 是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法 2 簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法 3 引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。 已知 1??yx ，求 22 yx ? 的最小值。 分析 1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個字母 yx、 ，但已知條件恰有 yx、 的關(guān)系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。 解法 1 .1,1 xyyx ?????? 設(shè) 22 yxz ?? ，則 .122)1( 222 ?????? xxxxz ? 二次項系數(shù)為 ,02? 故 z 有最小值。 ? 當 2122 2 ?????x 時， .2124 2124 2 ＝）－（－＝最小值 ???z ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 2 已知的一次式 1??yx 兩邊平方后與所求的二次式 22 yx ? 有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。 解法 2 ,1)(,1 2 ????? yxyx? 即 .2122 xyy ??? ? ).(1,2 222222 yxyxyxxy ??????? 即 ,2122 ?? yx 當且僅當 21??yx 時取等號。 ? 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達 到求最值的目的。 解法 3 設(shè) .22 yxz ?? .2121)21()21(1,1 2222 ?????????????? yxyxyxzyx? ? 當 21??yx 時， .21＝最小z即 22 yx ? 的最小值為 .21 分析 4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特 點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。 解法 4 如圖 4－ 2－ 2， 1??yx 表示直線 ,l 22 yx ? ),( yxP 1 1 O x y l 圖 4－ 2－ 2 第 26 頁 共 41 頁 表示原點到直線 l 上的點 ),( yxP 的距離的平方。 顯然其中以原點到直線 l 的距離最短。 此時， ,222 |100| ????d即 .22)( 22 ＝最小yx ? 所以 22 yx ? 的最小值為 .21 注 如果設(shè) ,22 zyx ?? 則問題還可轉(zhuǎn)化為直線 1??yx 與圓 zyx ?? 22 有交點時，半徑 z 的最小值。 簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法 1 是基本方法，解法 4 都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點，與相關(guān)知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法 4，形象直觀，值得效仿。 設(shè) .1,2 RzzRz ???求證： .1|| ?z 分析 1 由已知條件21 zz?為實數(shù)這一特點，可提供設(shè)實系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運用韋達定理可以探求證題途徑。 證法 1 設(shè) ),(12 Raazz ???當 0?a 時，可得 0?z 與 Rz? 條件不合。 .0??a 于是有 .02 ??? azaz ?? ,Rz? 該方程有一對共軛虛根，設(shè)為 21,zz ，于是 .||||, 222121 zzzz ??? 又由韋達定理知 .1||.1||||,1 2221221121 ???????????? zzzzzzzaazz 分析 2 由于實數(shù)的共軛復數(shù)仍然是這個實數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復數(shù)方程，注意到2||zzz ? 這一重要性質(zhì)，即可求出 ||z 的值。 證法 2 設(shè) ),(12 Raazz ???當 0?a 時，可得 0?z 與 Rz? 條件不合， .0??a 則有 21 zza ??， .11,22 zzzzaa ?????? 即 ).()()1()1( 22 zzzzzzzzzzzz ????????? 但 ,|| 2zzz ?? .0)||1)((,|||| 222 ?????????? zzzzzzzzz 而 .1||, 2 ???? zRzz 即 .1|| ? 分析 3 因為實數(shù)的倒數(shù)仍為實數(shù)，若對原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進行運算的形式。再運用共軛復數(shù)的性質(zhì)，建立復數(shù)方程，具有更加簡捷的特點。 證法 3 ,1,1 22 RzzRzz ?????即 .11 Rzzzzzz ?????? 從而必有 .1||.1 ???? zzz 第 27 頁 共 41 頁 簡評 設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應用復數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這 是需要體會的關(guān)鍵之處。證法 3 利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。 例 5 由圓 922 ??yx 外一點 )12,5(P 引圓的割線交圓于 BA、 兩點，求弦 AB 的中點 M 的軌跡方程。 分析 1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點的一些性質(zhì)，圓心和弦中點的連線垂直于 弦，可得下面解法。 解法 1 如圖 4－ 2－ 3，設(shè)弦 AB 的中點 M 的坐標為 ),( yxM ，連接 OMOP、 ， 則 ABOM? ，在 OMP? 中，由兩點間的距離公式和勾股定理有 .169)12()5( 2222 ?????? yxyx 整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的 曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。 解法 2 因為 M 是 AB 的中點，所以 ABOM? ， 所以點 M 的軌跡是以 ||OP 為直徑的圓，圓心為 )6,25( , 半徑為 ?? ,2132 || OP 該圓的方程為： 222 )213()6()25( ???? yx 化簡，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點 M 可看作直線 OM 與割線 PM 的交點，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。 解法 3 設(shè)過 P 點的割線的斜率為 ,k 則過 P 點的割線方程為： )5(12 ??? xky . ? ABOM? 且過原點， OM? 的方程為 .1xky ?? 這兩條直線的交點就是 M 點的軌跡。兩方程相乘消去 ,k 化簡，得： .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 4 （參數(shù)法）將動點坐標表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動點 M 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點 M 的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。 解法 4 設(shè)過 P 點的割線方程為： )5(12 ??? xky 它與圓 922 ??yx 的兩個交點為 BA、 ， AB 的中點為 M . 解方程組 ??? ?? ??? ,9 12)5(22 yxxky 圖 4－ 2－3 P M B A O y x 第 28 頁 共 41 頁 利用韋達定理和中點坐標公式，可求得 M 點的軌跡方程為： .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應關(guān)系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設(shè)而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點 M 的坐標 ),(yx 與兩交點),(),( 2211 yxByxA 、 通過中點公式聯(lián)系起來，又點 、 MP BA、 構(gòu)成 4點共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。 解法 5 設(shè) ),(),(),( 2211 yxByxAyxM 則 .2,2 211 yyyxx ???? .9,9 22222121 ???? yxyx? 兩式相減，整理，得 .0))(())(( 21121212 ?????? yyyyxxxx 所以 ,21211212 yxyy xxxx yy ???????? 即為 AB 的斜率，而 AB 對斜率又可表示為 ,512xy?? ,512 yxxy ????? 化簡并整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法 3 局限于曲線是圓的條件，而解法 5適用于一般的過定點 P 且與二次曲線 C 交于 BA、 兩點，求 AB 中點 M 的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法 5通常利用 ABPM kk ? 可較簡捷地求出軌跡方程，比解法 4計算量要小，要簡捷得多。 第 29 頁 共 41 頁 二、 解密數(shù)學思維的內(nèi)核 數(shù)學解題的思維過程 數(shù)學解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至 解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。 對于數(shù)學解題思維過程， G . 波利亞提出了四個階段 *（見附錄），即弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧。這四個階段思維過程的實質(zhì)，可以用下列八個字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實施、反思。 第一階段：理解問題是解題思維活動的開始。 第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。 第三階段：計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活運用和思維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。 第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結(jié)束包含另一個新的思維活動過程的開始。 數(shù)學解題的技巧 為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。 一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達到解決原題的目的。 基于這樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。 一、 熟悉化策略